Но ведь бывают и числительные порядковые: первый, второй, третий и т. д. Вкратце поговорим и о них. Как количественное числительное есть словесное выражение (имя) количественного числа (оно же кардинальное число, оно же мощность), так порядковое числительное есть словесное выражение (имя) порядкового числа. Чтобы отличать порядковые числа от количественных, будем обозначать их - в конечном случае (а про бесконечный мы пока ничего не знаем) - римскими цифрами, как это и принято в русской орфографии. Ведь мы пишем "Генрих VIII", а не "Генрих 8". Порядковое число - это особая сущность, для которой сейчас будет предложено не определение (что перегрузило бы изложение), а ассоциативная иллюстрация. С этой целью обращусь к своим детским ощущениям - ещё более ранним, чем кошмар, упомянутый в самом начале данной главы. В свои студенческие годы я с изумлением узнал, что эти ощущения испытал не только я.
Итак, раннее детство. Я размышляю, какой я плохой. Но тут же приходит в голову мысль, что раз я это понял, значит, я хороший. Но если я считаю себя хорошим, то, значит, я плохой. Но тогда я хороший - и так далее. Какую замечательную бесконечную лестницу я выстроил, хвалю я себя. Какой я плохой, что себя хвалю. И так далее. Здесь иллюстрация понятия порядкового числа. В самом деле, естественно называть ступени возникшей лестницы словами "первая", "вторая", "третья" и так далее. А можно сказать и так: со ступенями соотносятся порядковые числа I ("я плохой"), II ("я хороший, потому что осознал, что плохой"), III ("я плохой, потому что себя похвалил") и так далее. С лестницей же в целом ("я хороший, потому что смог увидеть всю лестницу") соотносится некоторое новое, бесконечное порядковое число (омега). Далее следуют + I ("я плохой, потому что себя похвалил"), + II, + III и так далее. А потом, за ними всеми, + ω. Здесь мы остановимся, однако читатель волен продолжить это ряд и далее. Начиная с ω идут бесконечные порядковые числа. Их именами служат выражения "омега", "омега плюс один", "омега плюс два", "омега плюс три" и так далее. С семантической точки зрения эти выражения представляют собою порядковые числительные. С синтаксической точки зрения порядковые числительные должны быть похожи на прилагательные, и потому следовало бы говорить "омеговый", "омега плюс первый" и так далее; но так почему-то не говорят.
Читатель, желающий проверить себя на понимание бесконечных порядковых чисел (а автора - на способность понятно изложить), благоволит выполнить такое упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 3, числа 2, всех чисел 0, /2, /3, /4, /5 и так далее и всех чисел 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 и так далее. Занумеруйте элементы этого множества, в порядке их возрастания, порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим элементом является здесь 0 и он получит номер I, элемент /2 получит номер II, элемент /3 получит номер III, и так далее; далее, элемент 1 получит номер, элемент 1/2 получит номер + I, элемент 1/3 получит номер + II, и так далее; наконец, элемент 2 получит номер + ω, и элемент 3 получит номер ++ I.
Глава 8. Параллельные прямые в мифологии, в реальности и в математике
То, что общественное сознание отчасти мифологично, давно перестало быть новостью. Все знают, что во время Второй мировой войны, в период германской оккупации Дании, датский король надел жёлтую звезду. На самом деле этого не было. Всем известны слова Ленина, что искусство должно быть понятно массам, и сетования Пушкина на то, что он родился в России с умом и талантом. На самом деле Ленин (в беседе с Кларой Цеткин) говорил не "понятно массам", а "понято массами", а Пушкин (в письме к жене) писал не "с умом", а "с душою". Замена понятности на необходимость понимания и ума на душу в корне меняет смысл привычных формулировок. Если искажение слов Ленина можно списать на неправильный перевод с немецкого (а подлинник текста Цеткин был доступен в России единицам), то случай с Пушкиным требует более глубокого анализа. Объяснение состоит здесь, по-видимому, в том, что наше сознание готово допустить неуместность в России ума (которым, как известно, Россию не понять), но никак не души (это в России-то, этом заповеднике духовности и душевности!). Сила предубеждённости в этом вопросе поистине замечательна: ведь тираж изданий писем Пушкина исчисляется сотнями тысяч! Тем не менее ошибку в цитате делают даже филологи весьма известные. Вот ещё распространённый миф - формула Обещаю говорить правду, только правду и ничего, кроме правды, якобы применяемая в американском судопроизводстве (формула довольно странная, поскольку смысл оборотов "только правду" и "ничего, кроме правды" один и тот же). На самом деле в Америке говорят по-другому: "Обещаю говорить правду, всю правду и ничего, кроме правды, и да поможет мне Бог" (Promise to tell the truth, the whole truth, and nothing but the truth, so help me God).
Математика может чувствовать себя польщённой тем, что к числу деталей, в которых мифологическая картина мира отличается от картины реальной, принадлежат и некоторые математические сюжеты. Например, большинство убеждено, что в математике все понятия определяются и все утверждения доказываются. Но ведь каждое понятие определяется через другие понятия, а каждое утверждение доказывается, опираясь на другие утверждения. Вспоминается риторический вопрос г-жи Простаковой: "Портной учился у другого, другой у третьего, да первой портной у кого же учился?" Автору этих строк приходилось слышать и такое определение площади поверхности шара: "Площадь поверхности шара есть предел площадей поверхностей правильных многогранников, вписанных в этот шар, - при неограниченном возрастании числа граней этих многогранников". Подобное представление о площади поверхности явно возникло по аналогии с тем фактом, что длина окружности действительно есть предел периметров правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, - при неограниченном возрастании числа сторон этих многоугольников. Но всё дело в том, что в правильном многоугольнике может быть какое угодно количество сторон, в правильном же многограннике количеством граней может служить лишь одно из следующих пяти чисел: четыре (у тетраэдра), шесть (у куба, он же гексаэдр), восемь (у октаэдра), двенадцать (у додекаэдра) или двадцать (у икосаэдра) - так что ни о каком неограниченном возрастании числа граней не может быть речи.
Самое же замечательное явление связано с отражением в мифологическом сознании учения о параллельных прямых.
Что такое параллельные прямые, знают практически все. Практически все слышали и об аксиоме о параллельных прямых - ведь её проходят в школе. Никто из так называемых "людей с улицы", которых я спрашивал, в чём состоит аксиома о параллельных, не отговорился незнанием. Абсолютное большинство из опрошенных отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Рекомендуем читателю самому произвести опрос и убедиться, что именно такая формулировка аксиомы о параллельных входит в массовое сознание.
Получив указанный выше ответ на вопрос о содержании аксиомы о параллельных, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. (Если даже клаузула "и лежат в одной плоскости" не будет произнесена, этому не следует придавать значения: её необходимость понимают все.) Многие сразу же осознают, что тут что-то не так: ведь никакая аксиома не может заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймёт это сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее аксиому о непересекаемости непересекающихся прямых вполне возможной. С представителями этого меньшинства договориться трудно - разговор происходит на разных языках. (Ведь параллельные прямые и в самом деле не пересекаются. А возможна ли такая аксиома: "Всякий зелёный предмет является зелёным"? - спрашивал я. Конечно возможна, отвечали мне представители меньшинства; вот если сказать "Всякий зелёный предмет является красным", то такая аксиома невозможна.)