Перельман Яков Исидорович - Для юных математиков. Веселые задачи стр 16.

Рис. 93.

Рис. 94.

Решение задачи № 96

Все силуэты имеют одинаковую площадь, так как составлены из одних и тех же частей. Как бы ни различались между собою силуэты, все они представляют собою видоизменения первоначального квадрата и, конечно, равны ему по площади.

Решение задачи № 97

Рис. 95.

Решение задачи № 98

Каждый из больших треугольников составляет по площади 1/4 квадрата; средний треугольник вдвое меньше и, следовательно, составляет 1/8 долю квадрата. Каждый из маленьких треугольников вдвое меньше среднего, и, значит, площадь каждого = 1/16 доле площади квадрата.

Параллелограмм и квадратик можно составить из двух маленьких треугольников; следовательно, каждая из этих фигур = 1/8 площади первоначального квадрата.

Решение задачи № 99

На прилагаемом чертеже 96-м показано, как составлены обе фигуры.

Первая, безногая фигура чуть-чуть толще второй, – именно на узкую полоску, отрезаемую линией АВ. Зато вторая фигура имеет ногу, и площадь этой "ноги" в точности равна упомянутой избыточной полоске.

Рис. 96.

Решение задачи № 100 Один из двух квадратов составляется двумя большими треугольниками. Сделав это, нетрудно уже из остальных 5 танграммов составить второй квадрат.

Вторая сотня головоломок

Предисловие

Выпущенный мною в 1915 году первый сборник головоломок для юных математиков ("Веселые задачи") получил применение и распространение гораздо более обширные, чем можно было ожидать [9] . Успех первой книжки побудил меня наряду с ее переизданием, выпустить еще один сборник подобного же характера, чтобы дать юным любителям математики более обширное поле для изощрения своих способностей. Книжка эта лежит перед читателем. Несмотря на подзаголовок (вторая сотня головоломок), она не стоит в необходимой связи с первой. Это просто серия других упражнений, в общем не труднее и не легче предложенных в первом сборнике. Материал умышленно подобран здесь не однородный по трудности, чтобы каждый из юных читателей мог найти упражнения, соответствующие его силам. Значительная часть задач (около половины общего числа) придумана мною, большинство остальных принадлежит к мало использованным и в русском сборнике появляется впервые. Как и первая книжка, этот сборник не преследует учебных целей, а имеет лишь в виду приятной умственной гимнастикой изощрить сообразительность и тем подготовить юный ум к более серьезной работе в будущем [10] .

Я. П.

Глава I Задачи из "Путешествий Гулливера"

Рис. 1.

Самые удивительные страницы в "Путешествиях Гулливера по многим отдаленным странам" – без сомнения, те, где описаны его необычайные приключения в стране крошечных лилипутов и в стране великанов "бробдиньягов". В стране лилипутов размеры – высота, ширина, толщина – всех людей, животных, растений и вещей были в 12 раз меньше, чем у нас. В стране великанов, наоборот, – в 12 раз больше. Почему автор "Путешествий" избрал именно число 12, легко понять, если вспомнить, что это как раз отношение фута к дюйму (автор "Путешествий" – англичанин). В 12 раз меньше, в 12 раз больше – как будто не очень значительное уменьшение или увеличение. Однако отличие природы и жизни в этих фантастических странах от тех, к каким мы привыкли, оказалось поразительным. Зачастую различие это настолько озадачивает своей неожиданностью, что дает материал для головоломной задачи. Десяток подобных головоломок мы и хотим здесь предложить читателям. ЗАДАЧА № 1 Паек и обед Гулливера

Лилипуты, – читаем мы в "Путешествиях", – установили для Гулливера следующую норму отпуска пищевых продуктов:

"Ему будет ежедневно выдаваться паек съестных припасов и напитков, достаточный для прокормления 1724 подданных страны лилипутов".

"Триста поваров, – рассказывает Гулливер в другом месте, – готовили для меня кушанье. Вокруг моего дома были поставлены шалаши, где происходила стряпня и жили повара со своими семьями. Когда наступал час обеда, я брал в руки 20 человек прислуги и ставил их на стол, а человек 100 прислуживало с пола: одни подавали кушанье, остальные приносили боченки с вином и другими напитками на шестах, перекинутых с плеча на плечо. Стоявшие наверху по мере надобности поднимали все это на стол при помощи веревок и блоков".

Не объясните ли вы, из какого расчета получили лилипуты такой огромный паек? И зачем понадобился столь многочисленный штат прислуги для прокормления одного человека? Ведь он всего лишь в дюжину раз выше ростом, нежели лилипуты. Соразмерны ли подобный паек и аппетит с относительной величиной Гулливера и лилипутов?

ЗАДАЧА № 2 Бочка и ведро лилипутов

"Наевшись, – рассказывает далее Гулливер о своем пребывании в стране лилипутов, – я показал знаками, что мне хочется пить. Лилипуты с большой ловкостью подняли на веревках до уровня моего тела бочку вина самого большого размера, подкатили ее к моей руке и выбили крышку. Я выпил все одним духом. Мне подкатили другую бочку. Я осушил ее залпом, как и первую, и попросил еще, – но больше у них не было".

Рис 2. Обед Гулливера в стране лилипутов.

В другом месте Гулливер говорит о ведрах лилипутов, что они были "не больше нашего большого наперстка".

Такие крошечные бочки и ведра могли ли быть в стране, где все предметы меньше нормальных только в 12 раз?

ЗАДАЧА № 3 Животные страны лилипутов

"Пятьсот самых больших лошадей было прислано, чтобы отвезти меня в столицу", – рассказывает Гулливер о стране лилипутов.

Не кажется ли вам, что 500 лошадей – чересчур много для этой цели, даже принимая во внимание относительные размеры Гулливера и лилипутских лошадей?

О коровах, быках и овцах лилипутов Гулливер рассказывает не менее удивительную вещь, – что, уезжая, он попросту "посадил их в свой карман".

Возможно ли это?

ЗАДАЧА № 4 Жесткая постель

О том, как лилипуты приготовили ложе своему гостю-великану, читаем в "Путешествии Гулливера" следующее:

"Шестьсот тюфяков обыкновенных лилипутских размеров было доставлено на подводах в мое помещение, где портные принялись за работу. Из полутораста тюфяков, сшитых вместе, вышел один, на котором я мог свободно поместиться в длину и ширину. Четыре таких тюфяка положили один на другой, – но даже и на этой постели мне было так же жестко спать, как на каменном полу".

Почему же Гулливеру было на этой постели так жестко? И правилен ли весь приведенный здесь расчет?

ЗАДАЧА № 5 Триста портных

"Ко мне было прикомандировано 300 портных-лилипутов с наказом сшить мне полную пару платья по местным образцам".

Неужели нужна такая армия портных, чтобы сшить один костюм на человека, ростом всего в дюжину раз больше лилипутского?

ЗАДАЧА № 6 Лодка Гулливера

Гулливер покинул страну лилипутов на лодке, которую случайно прибило к берегу. Лодка эта казалась лилипутам чудовищным кораблем, далеко превосходящим размеры самых крупных судов их флота.

Не можете ли вы рассчитать приблизительно, сколько лилипутских тонн водоизмещения [11] имела эта лодка, если исходить из того, что она могла поднять груз в 20 пудов?

ЗАДАЧА № 7 Исполинские яблоки и орехи

"Один раз, – читаем мы в "Путешествиях Гулливера" к бробдиньягам (великанам), – с нами отправился в сад придворный карлик. Улучив удобный момент, когда я, прохаживаясь, очутился под одним из деревьев, он ухватился за ветку и встряхнул ее над моей головой. Град яблок, величиной каждое с хороший боченок, шумно посыпался на землю; одно ударило меня в спину и сбило с ног"…