7.9. Возвести левую часть, равную 2, в куб, воспользовавшись формулой (x + у)³ = x³ + у³ + 3xу(x + у), где x + у = 2.
7.10. Равенство а + b = − с возвести в куб, а равенство а + b + с = 0 дважды возвести в квадрат. Полученные таким образом соотношения учесть при преобразовании левой части равенства, которое нужно доказать.
7.11. Итак, можно безболезненно рассмотреть лишь случай x ≥ 0, у - любое. Его придется разбить на два случая: |у| ≤ x и |у| > x. В последнем случае 
.
7.12. Возведенное в куб выражение преобразовать и упростить, воспользовавшись им же.
7.13. Тождественное равенство многочленов означает равенство их коэффициентов:
а³ − с³ = 0, 3(а²b − с²) = 24, ... .
Из первого равенства следует, что а = с, после чего можно упростить все другие соотношения.
K главе 8
8.2. Перемножить первую скобку с третьей, а вторую с четвертой.
8.5. Полученное тождество справедливо при всех значениях x, в частности при x = i.
8.6. Полезно заметить, что при целых значениях x ≠ 0 выражение 
Это позволяет ограничиться рассмотрением таких целых у, что у² ≤ 6.
8.7. Так как все коэффициенты уравнения - рациональные числа, то можно предвидеть, что наряду с корнем √3 + 1 должен существовать корень √3 − 1.
8.8. Теоремы Виета недостаточно, так как уравнение в этом случае может вовсе не иметь действительных корней.
8.11. Приравнять остаток нулю и потребовать, чтобы квадратный трехчлен, получившийся в частном, был положителен, т. е. имел отрицательный дискриминант.
8.12. В полученном тождестве следует выбрать x = 2 и x = 3. Получим два уравнения относительно а и b.
8.13. Записать x + 1 в виде произведения квадратных трехчленов с неопределенными коэффициентами, раскрыть скобки и воспользоваться условием равенства двух многочленов.
8.14. Многочлен делится на у³, если его свободный член и коэффициенты при у и у² равны нулю.
8.15. Воспользоваться условием тождественного равенства двух многочленов.
K главе 9
9.3. Один способ - дополнить левую часть до полного квадрата, второй - обозначить второе слагаемое через u² и перейти к системе.
9.4. При возведении в куб воспользоваться формулой куба суммы в виде (а + b)³ = а³ + b³ + 3аb(а + b). Выражение а + b заменить правой частью данного уравнения.
9.6. Если ввести новое неизвестное p = u + v, то с помощью уравнения u − v = 1 можно через p выразить как u, так и v. Это поможет решить второе уравнение системы.
9.7. Из системы, полученной в результате замены, исключить свободные члены. Это приведет к уравнению, левую часть которого легко разложить на множители.
9.8. В качестве вспомогательного неизвестного удобно выбрать 
9.9. Найти x и сделать проверку. Обратить внимание на то обстоятельство, что разность, стоящая в левой части данного уравнения, всегда положительна.
9.10. Второй путь удобнее, так как не приходится решать неравенство с параметром β, что значительно упрощает исследование.
9.14. Первое уравнение задает квадрат с центром в начале координат и с диагоналями, равными по длине 2, расположенными на координатных осях.
9.15. Ввести новые неизвестные: x + /x = u, у + /y = v.
9.16. В первое и второе уравнения входит разность у − z. Ее-то и следует исключить из этих уравнений.
9.17. Сумму x + у в третьем уравнении удобно выразить через x² + у² и xу. В результате придем к уравнению относительно z.
9.18. Уравнение x + у = 1 − z позволит также упростить выражение, оказавшееся в скобках после того, как в третьем уравнении был вынесен за скобку множитель 1 − z.
9.19. Поскольку а, b и с - корни многочлена M(t), его можно записать в виде M(t) = (t − а)(t − b)(t − с). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t в двух выражениях для M(t), найдем u, v и w (см. указание I, с. 138). Постарайтесь закончить решение, не прибегая к излишним выкладкам.
9.20. Умножить первое уравнение на xу²z², а второе на x²уz². Будет ли нарушена при этом равносильность?
9.22. Умножить первое уравнение на z и вычесть из второго. Аналогично поступить со вторым и третьим уравнениями.
9.23. Возвести первое уравнение в квадрат и вычесть его из второго. Из полученного уравнения исключить z, воспользовавшись сначала третьим, а затем первым уравнениями. (!!)
Чтобы осуществить эту операцию, первое уравнение нужно предварительно умножить на у.
9.24. Почленно сложить каждые два уравнения: первое и второе, первое и третье, второе и третье. Из найденной системы получить уравнение относительно u = xyz. (!!)
Чтобы получить уравнение относительно u = xyz, достаточно перемножить полученные уравнения.
9.25. Каждое уравнение - квадратное относительно соответствующего xk. Решив все эти квадратные уравнения и сложив их решения, мы получим уравнение относительно s. Гарантировать равносильность при этом нельзя, но в условии задачи требуется найти только одно решение.
9.26. Если обозначить 7x − 11у = u, то отсюда можно выразить z через u и у. Таким образом, мы получим снова систему двух уравнений с двумя неизвестными. Из этой системы легко исключить у.
9.27. Из такой системы можно исключить у, одновременно избавляясь от иррациональностей: нужно возвести оба уравнения в квадрат и вычесть второе из первого.
9.28. Выразить 
через x и сравнить получающиеся в результате выражения для z².
9.29. Полученная после возведения в квадрат система уравнений позволяет легко определить u − v, а затем u и v. (!!)
При определении u и v и при последующем вычислении x и у нужно провести исследование. В результате будут использованы условия а > b > 0 и а + b < 1, а также введенные при возведении в квадрат ограничения x > 0, у > 0.
9.30. Наряду с решением x1, у1, z1 у системы обязательно есть решение −x1, −у1, z1. Таким образом, для единственности решения системы необходимо, чтобы эти два решения совпали. (!!)
Условие совпадения симметричных решений приведет к системе относительно а и b. Каждое из полученных значений а и b нужно проверить, так как мы воспользовались лишь необходимым условием единственности решения системы.
9.31. Подставив в первое и второе уравнения у = −x, мы получим два линейных уравнения относительно x³. Выразить из каждого уравнения x³ и приравнять эти два выражения. (!!)
Предыдущие рассуждения позволяют ограничить число рассматриваемых значений параметра а. Остается проверить, выполняются ли для каждого из оставшихся значений остальные условия задачи.
9.32. В качестве фиксированного значения b удобно выбрать b = 0. Мы придем к системе, из которой легко определить все возможные а. (!!)
Найденные значения а необходимо проверить.