Рассмотрим в качестве примера фасад 16-этажного дома с 38 окнами в каждом этаже. В вечернее время каждое из окон дома может быть освещено или затемнено, т. е. 2 ≈ 10 находиться в двух состояниях. Определенные совокупности освещенных окон можно рассматривать как некоторые образы. Считая все окна (их число равно 38*16=608) различными по их расположению на фасаде, каждый такой образ можно связать с соответствующим подмножеством освещенных окон. Тогда количество всех образов равно количеству элементов множества подмножеств всех окон, т. е. . Полученное число настолько большое, что его трудно даже представить. Оно несравнимо больше числа атомов во всей видимой вселенной, которое равно примерно 10. Если бы каждый атом превратился во вселенную, то и тогда на один атом приходилось бы 10 образов 10 = 10 *10 * 10). Поэтому, хотя множество всех образов конечно и любой из них можно легко определить, о задании подобных множеств перечислением их элементов не может быть и речи.
Определяющее свойство. Другой способ задания множества состоит в описании элементов определяющим свойством Р(х) (формой от х), общим для всех элементов. Обычно Р(х) - это высказывание, в котором что-то утверждается об х, или некоторая функция
- 23 -
переменной х. Если при замене х на а высказывание Р(а) становится истинным или функция в заданной области определения удовлетворяется, то а есть элемент данного множества. Множество, заданное с помощью формы Р(х), обозначается как Х={х | Р(х)}, или Х={х :Р(х)}, причем а {х | Р(х)}, если Р(а) истинно. Например {х | х = 2} - множество чисел, квадрат которых равен двум, {х | х есть животное с хоботом} - множество слонов.
Обычно уже в самом определении конкретного множества явно или неявно ограничивается совокупность допустимых объектов. Так, множество слонов следует искать среди млекопитающих, а не среди рыб и тем более не среди планет. Если речь идет о множестве чисел, делящихся на 3, то ясно, что оно является подмножеством целых чисел. Удобно совокупность допустимых объектов зафиксировать явным образом и считать, что рассматриваемые множества являются подмножествами этой совокупности. Ее называют основным множеством (универсумом) и обычно обозначают через U. Так, универсумом арифметики служат числа, зоологии - мир животных, лингвистики - слова и т.п.
Если множество выделяется из множества A с помощью формы Р(х), то запись {х | х ∈ А, Р(х)} часто упрощается: {х ∈ А | Р(х)}. Запись {f(х) | Р(х)} означает множество всех таких у=f(х), для которых имеется х, обладающий свойством Р(х). Например, {х | х - простое число} означает множество квадратов простых чисел.
7. Операции над множествами. Множества можно определять также при помощи операций над некоторыми другими множествами. Пусть имеются два множества A и B.
Объединение (сумма) А ∪ В есть множество всех элементов, принадлежащих A или В. Например, {1, 2, 3} ∪ (2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}.
Пересечение (произведение) А ∩ В есть множество всех элементов, принадлежащих одновременно как A, так и В. Например, {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}. Множества, не имеющие общих элементов (A ∩ В = ∅), называют непересекающимися (расчлененными).
Разность А \ В (или A - В) есть множество, состоящее из всех элементов A, не входящих в В, например, {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} = {1}. Ее можно рассматривать как относительное дополнение В до A. Если A ⊂ U, то множество U \ A называется абсолютным дополнением (или просто дополнением) множества A и обозначается через A̅. Оно содержит все элементы универсума U, кроме элементов множества A. Дополнение A определяется отрицанием свойства Р(х), с помощью которого определяется A. Очевидно, А \ В = A ∩ В̅.
- 24 -
Дизъюнктивная сумма (симметрическая разность) А + В (или A ⊕ В) есть множество всех элементов, принадлежащих или A, или В (но не обоим вместе). Например, {1, 2, 3} + {2, 3, 4} = {1, 4}. Дизъюнктивная сумма получается объединением элементов множеств за исключением тех, которые встречаются дважды.
8. Круги Эйлера. Для наглядного изображения соотношений между подмножествами какого-либо универсума и используют круги Эйлера (рис. 2). Обычно универсум представляется множеством точек прямоугольника, а его подмножества изображаются в виде кругов или других простых областей внутри этого прямоугольника.
Рис. 2. Круги Эйлера для основных операций над множествами.
Множества, получаемые в результате операций над множествами A и В, изображены на рис. 2 заштрихованными областями. Непересекающиеся множества
изображаются неперекрывающимися областями, а включение множества соответствует области, целиком располагающейся внутри другой (рис. 3). Дополнение множества A (до U), т. е. множество A̅ изображается той частью прямоугольника, которая лежит за пределами круга, изображающего A.
9. Отношения. В начале этого параграфа речь шла о том, что элементы множества могут находиться в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств.
Рис. 3. Круги Эйлера для непересекающихся множеств, отношения включения и дополнения.
В самом общем смысле отношение означает какую-либо связь между предметами или понятиями. Отношения между парами объектов называют бинарными (двуместными). Выше же были рассмотрены два таких отношения - принадлежность (а ∈ A) и включение A ⊂ B. Первое из них определяет связь между множеством и его элементами, а второе - между двумя множествами. Примерами бинарных отношений являются равенство (=), неравенства (< или ⩽ ), а также такие выражения как "быть братом", "делиться (на какое-то число)", "входить в состав (чего-либо)" и т. п.
- 25 -
Для любого бинарного отношения можно записать соответствующее ему соотношение (для отношения неравенства соотношением будет х < у, для отношения "быть братом" соотношение запишется как "х брат у"). В общем виде соотношение можно записать как хАу, где А - отношение, устанавливающее связь между элементом х из множества Х (х ∈ X) и элементом y из множества Y (y ∈ Y). Ясно, что отношение полностью определяется множеством всех пар элементов (х, у), для которых оно имеет место. Поэтому любое бинарное отношение А можно рассматривать как множество упорядоченных пар (х, у).
Отношения могут обладать некоторыми общими свойствами (например, отношение включения и отношение равенства транзитивны). Определяя эти свойства и комбинируя их, можно выделить важные типы отношений, изучение которых в общем виде заменяет рассмотрение огромного множества частных отношений.
10. Функции как отношения. Функция f, ставящая каждому числу х (аргументу) в соответствие определенное число (значение функции) у=f(х), также является бинарным отношением.
Обобщая это понятие, можно считать функцией такое бинарное отношение f, которое каждому элементу х из множества Х ставит в соответствие один и только один элемент из множества Y, т. е. хfу. При этом считают, что элементами множеств Х и Y могут быть объекты любой природы, а не только числа.
Функцией в таком общем понимании будет, например, соответствие между деталями какого-либо механизма и их массой (каждой детали соответствует ее масса), между человеком и его фамилией и т. п. В то же время такие отношения как неравенство (<) или "быть братом" функциями не являются, так как для каждого числа можно указать бесконечные множества превышающих его чисел, а человек может иметь несколько братьев или совсем их не иметь.
Обобщение понятия функции явилось одним из отправных моментов нового важного раздела современной математики - функционального анализа. Это понятие имеет огромное прикладное значение, так как позволяет рассматривать функциональные отношения между объектами любой природы.
Задачи и упражнения
1. Какие из приведенных ниже соотношений неверны и почему?
а) x ∈ {2, a, x}; б) 3 ∈ {1, {2, 3}, 4}; в) x ∈ {1, sinx}; г) {x, y} ∈ {a, {x, y}, b}.
2. Равны ли между собой множества А и В (если нет, то почему)?
а) A = {2, 5, 4}, B = {5, 4, 2};
б) A = {1, 2, 4, 2}, B = {1, 2, 4};
в) A = {2, 4, 5}, B = {2, 4, 3};
г) A = { 1, {2, 5}, 6}, B = {1, {5, 2}, 6};
д) A = { 1, {2, 5}, 6}, B = {1, 2, 5, 6};
3. Связаны ли множества А и В отношением включения (если да, то укажите, какое из них является подмножеством другого)?
- 26 -
а) A = {a, b, d}, B = {a, b, c, d};
б) A = {a, c, d, e}, B = {a, e, c}
в) A = {c, d, e}, B = {c, a}
4. В каких отношениях народятся между собой следующие три множества:
A = {1,3}; B - множество нечетных положительных чисел; C - множество решений уравнения x - 4x + 3 = 0?
5. Образуйте множество праздничных дней 1975 г. Пересекается ли это множество с множеством воскресных дней того же года? Если да, то запишите элементы пересечения этих двух множеств.
6. К каким видам относятся следующие множества: A - множество конденсаторов в радиоприемнике; B - множество квадратов целых чисел; C - множество решений уравнения 2x - 3 = 0; D - множество деревьев на Луне?