Проверка полученного результата дает: 0·2 + 1·2 + 0·2 + 1·2 = 1/4 +1/16 = 5/16 = 0,3125.
Если число является смешанным, т.е. его целая и дробная части отличны от нуля, то оно переводится в двоичную систему раздельно: целая часть- последовательным делением, а дробная - последовательным умножением.
Арифметические операции над числами сводятся к операциям сложения и умножения одноразрядных чисел. В двоичной системе счисления умножение задается таблицей конъюнкции: 0·0=0; 1·0=0; 0·1=0 и 1·1=1. Сложение выполняется по правилу: 0 + 0 = 0; 1+0=1; 0+1=1 и 1+1=10 (10 - это двоичное число, соответствующее десятичному числу 2). Операции над двоичными числами выполняются по правилам, аналогичными для десятичных чисел, но эти правила предельно упрощаются (особенно для умножения). Например, десятичные операции 41 + 27 = 68 и 41·5= 205 выглядят следующим образом:
- 70 -
Как видно, умножение двоичных чисел сводится к сложению чисел, образованных сдвигом влево первого сомножителя. Поразрядное сложение осуществляется в соответствии с таблицей
причем в случае x1 = x2 = 1 образуется единица переноса в старший разряд. Операция, задаваемая этой таблицей, называется сложением по модулю 2. Если при сложении перенос не учитывается, то эта операция вместе с операцией умножения определяет на множестве двоичных чисел арифметику по модулю 2.
Задачи и упражнения
1. Подстановкой в формулу a ∨ b переменных запишите новые формулы и упростите их, если это возможно: а) a = x̅y, b = z. б) a = xy, b = xy̅; в) a = x, b = xy; г) a = x, b = x̅y; д) a = xy, b = c ∨ d, c = xz, d = yz̅.
2. Запишите таблицы соответствия для следующих формул: а) xx̅; б) xy ∨ x̅; в) (p ∨ q)(p̅ ∨ q̅); г) x̅∨̅y̅.
3. Проверьте с помощью таблиц соответствия следующие тождества: а) x̅∨̅y̅ = x̅ y̅; б) x ( x ∨ y) = x; в) x ∨ x̅ y = x ∨ y.
4. Постройте переключательные схемы для обеих частей приведенных ниже тождеств и убедитесь в том, что эти схемы функционируют одинаково:
а) xy∨x̅y∨x̅y̅=y ∨ x̅y̅
б) (x∨y)(x∨z) = x ∨ yz;
в) xyz∨xyz̅∨xy̅ = x.
5. Упростите следующие формулы:
а) x̅yz∨xy̅z̅∨xyz̅;
б) xy∨z∨x̅y̅∨̅z̅(zv∨x);
в) xy̅z̅∨xyz̅∨x̅yz∨xyz;
г) (x∨y)(x̅y̅∨z)∨z̅∨(x∨y)(u∨v).
6. Комитет, состоящий из трех членов, принимает решения большинством голосов. Постройте такую схему, чтобы голосование каждого члена комитета производилось нажатием своей кнопки и чтобы лампочка загоралась, если и только если решение принято. Какое наименьшее количество ключей необходимо?
7. Постройте схему освещения так, чтобы лампочка могла независимо включаться и выключаться двумя выключателями.
- 71 -
8. Преобразуйте формулы к такому виду, чтобы операция отрицания применялась только к логическим переменным:
9. Убедитесь с помощью таблиц соответствия в справедливости выражений для импликации и эквиваленции:
а) x1→ x2 = x̅1∨x2;
б) x1 ∼ x2 = x1x2∨ x̅1x̅2 = (x1∨x̅2)(x̅1∨x2);
в) x1 ∼ x2 = ( x1→ x2 )( x2→ x1 ).
10. Постройте переключательные схемы для импликации и эквиваленции в соответствии с тождествами, приведенными в задаче 9.
11. Запишите формулу, соответствующую переключательной схеме рис. 25. Упростите эту формулу и постройте более простую схему.
Рис. 25. Граф переключательной схемы к задаче 11.
12. Постройте переключательные схемы по формулам:
а)(x1 ∨ x2x̅3)(x1x2 ∨ x3x4)
б) (x̅1 (x2 ∨ x̅3) ∨ x̅4)x1.
13. Из простых высказываний x1 - "испытания проведены" и x2 - "программа выполнена" образуйте сложные высказывания по формулам а) x1∨x̅2; б) x1x2; в) x1→ x2 ; г) x1 ∼ x2.
14. Запишите формулы для следующих высказываний, обозначив буквами входящие в них простые высказывания:
а) Давление падает и система не работает.
б) Вычисления выполнены точно или конструкция несовершенна.
в) Проект разработал Андрей или Петр, а эксперимента выполнил Иван.
г) Если будет хорошая погода, мы отправимся на стадион или пойдем за грибами.
д) Программа может быть выполнена, если и только если материалы поступят своевременно.
е) Если я поеду на автобусе, то опоздаю на работу или я воспользуюсь такси.
ж) Андрей помогает Петру или Петр помогает Андрею, или они помогают друг другу.
15. Запишите формулу, соответствующую высказыванию: "Программа будет выполнена тогда и только тогда, когда закончатся испытания и показатели будут удовлетворительны; если программа не будет выполнена, сотрудники не получат премию или будут пересмотрены технические условия".
16. Даны простые высказывания: x1 - "идет дождь), x2 - "очень жарко".
а) Запишите формулу сложного высказывания "Неверно, что идет дождь и очень жарко".
б) Преобразуйте формулу по закону де Моргана и составьте соответствующее высказывание.
в) Убедитесь в тожественности исходного и преобразованного высказываний.
17. Путешественник остановился у развилки дорог, ведущих в пункты А и В, и ему нужно выяснить, в какой именно пункт ведет каждая из дорог. Находившиеся у развилки два человека заявили, что они могут ответить только на один вопрос и что один из них всегда правдив, а другой лжец. Какой вопрос должен задать путешественник, чтобы в любом случае ответ на него содержал необходимою информацию?
а) Решите задачу путем непосредственных рассуждений без применения алгебры логики.
- 72 -
б) Представьте ситуацию в виде сложного высказывания, составленного из простых.
в) Запишите соответствующую формулу и таблицу соответствия.
г) По таблице соответствия сформулируйте искомый вопрос.
18. Высказывание является логически истинным, если соответствующая ему формула тождественно равна единице, и логически ложным, если формула равна нулю. Определите с помощью таблиц соответствия, каким высказываниям соответствуют приведенные ниже формулы (истинным, ложным или ни тем и не другим): а) p ∼ p; б) p → p̅; в)(p∨q) ∼ pq; г)(p→q̅) → (q → p̅); д)(p→ q)→ p; е) ((p→ q)→ p)→ p; ж) p̅∨̅q̅ ∼ pq .
19. При x1 = 1; x2 = 0; x3 = 0 и x4 = 1 найдите значения каждой из следующих функций:
20. Пусть X - множество сотрудников отдела и на этом множестве определены относительно переменной x ∈ X одноместные предикаты P(x), Q(x), R(x), означающие соответственно: x - занимается спортом, изучает иностранный язык, имеет изобретения. Расшифруйте предикаты, образованные с помощью следующих логических операций: а) P(x) ∨ Q(x); б) P(x) Q(x); в) P̅(x) Q(x); г) Q(x) ∼ P(x); д) P̅(x)∼ (Q(x) ∨ R(x)).
21. Пусть V - множество вершин и E - множество ребер графа, причем ребро e ∈ E соединяет вершины x,y ∈V. Что означают предикаты P(x,y), Q(e, x, y), R(x,e)?
22. Каким десятичным числам соответствуют следующие двоичные числа: а) 1011; б) 1000110; в) 110100111?
23. Переведите в двоичную систему счисления десятичные числа: а) 51; б) 64; в) 125; г) 1000.
24. Выполните в двоичной системе следующие операции над десятичными числами: 21 + 37; 31 + 105; в) 25 · 8; г) (8 + 19) · 11; д) 24 · 8 - 17. Проверьте полученные результаты в десятичной системе.
25. Переведите в двоичную систему счисления с точностью до пяти двоичных знаков после запятой числа: а) 0,131; б) 0,25; в) 175,26.
26. Дайте обоснование правил перевода десятичных числе в двоичные.
27. Сложите двоичные числа 11001110 и 11010111 по обычному правилу и по модулю два. Найдите разность полученных результатов и объясните ее смысл.