Приведем один из аргументов, который вносит некое сомнение в само представление об эквивалентности в этом случае. Основным отличием пространства-времени ОТО от пространства-времени СТО является его кривизна, которая (как было сказано) определяется тензором кривизны. В пространстве-времени СТО этот тензор тождественно равен нулю, поэтому пространство Минковского называют плоским. Если применить сильный принцип эквивалентности (а понятию "эквивалентность" придать абсолютный смысл) для описания движения в ускоренной системе в пространстве Минковского, то нужно будет сказать, что от плоского пространства-времени мы перешли к искривленному пространству-времени ОТО. Но это невозможно, поскольку невозможно воссоздать из нулевой кривизны ненулевую лишь переходом между системами отсчета. "Малые размеры системы отсчета" в определении принципа не могут быть оправданием, поскольку кривизна – понятие локальное, она определяется в каждой точке.
Хотя в окончательную форму теории Эйнштейна сильный принцип эквивалентности не вошел, исторически он сыграл большую роль в становлении ОТО. Эйнштейн при разработке теории активно его использовал. Также, если в принципиальном плане нельзя из плоского мира сделать искривленный просто переходом в другую систему отсчета, то многие эффекты теории Эйнштейна действительно имеют место в ускоренных системах отсчета.
В качестве принципов построения теории, конечно, необходимы принципы соответствия. В чем они должны состоять? В случае слабых гравитационных полей (малой кривизны пространства-времени) и малых (по сравнению со световой) скоростей уравнения релятивистской теории гравитации должны перейти в уравнения гравитации Ньютона (их полевую форму мы обсудим несколько ниже). То есть предсказания общей теории относительности должны совпасть с результатами применения закона всемирного тяготения Ньютона с небольшими поправками, которые становятся значительными по мере увеличения напряженности поля и увеличения скоростей. В случае отсутствия гравитации (нулевая кривизна) уравнения новой теории тяготения должны перейти в уравнения СТО.
Наконец, иногда в качестве принципов, на основе которых была построена ОТО, упоминают ковариантность – требование, чтобы уравнения теории имели один и тот же вид во всех координатных системах. Это требование в определенном смысле является обобщением лоренц-инвариантности в СТО.
Построение ОТО
Что может сравниться по красоте с… неизменным правилом закономерности, которое управляет самыми, казалось бы, беспорядочными и сложными из ее [природы] проявлений?
Сэмуэль Майкельсон (отец Альберта Майкельсона)
Фактически все принципиальные предпосылки и необходимые требования для формулировки уравнений гравитационного поля в ОТО мы обсудили. Было осознано, что гравитационное взаимодействие выражается в искривлении пространства-времени, а искривляется пространство-время под воздействием материи. Оказалось также, что и тела, и материя в целом, воздействуют на пространство-время не только своей массой (или, эквивалентно, энергией), но и состоянием движения, напряжениями внутри тел, взаимодействием между разными видами материи. Больше деталей о материальных источниках можно найти в Дополнении 2. С другой стороны, искривляя пространство-время, материя движется (взаимодействует) уже в пространстве-времени искривленном самой собой. То есть пространство-время в общем случае не является безучастной ареной, на которой кипят страсти физических взаимодействий, а само становится динамическим объектом и во всем участвует. Уравнения Эйнштейна как раз устанавливают правила воздействия материи на пространство-время и наоборот.
Эти уравнения были построены и представлены Эйнштейном в работах 1915 и 1916 годов на основании аргументов изложенных выше. Практически одновременно они были представлены немецким математиком Давидом Гильбертом (1862–1943). Научные интересы Гильберта во многом были связаны с математической физикой. С большим интересом он следил за попытками Эйнштейна создать общую теорию относительности, основанными на логике анализа физических явлений. Это вдохновило его на поиски строгого математического подхода к построению уравнений, которые и были выведены из, так называемого, принципа наименьшего действия. В общем, Гильберт имел планы "заковать физику" в рамки аксиоматического подхода. Но несмотря на впечатляющие результаты в построении уравнений гравитации, этот глобальный замысел Гильберта не удался. До сих пор ведутся споры о приоритете, однако мы считаем, что одни исследования дополняют другие. Если можно так сказать, то Эйнштейн проник в самую глубину физических явлений, а Гильберт дал аппарат, позволяющий исследовать их более эффективно.
Логика построения уравнений Эйнштейна и их конкретный формальный вид даны в Дополнении 3, а здесь мы разъясним основные понятия ОТО, к которым будем часто обращаться в основном тексте. Вернемся к понятию интервала, который был введен для пространства Минковского. В отличие от плоского пространства, в искривленном пространстве-времени расстояние между двумя мировыми точками в общем случае невозможно определить как конечную длину отрезка прямой. Необходимо перейти к измерениям в малой окрестности мировой точки (к бесконечно малым величинам). Тогда квадрат интервала пространства Минковского между двумя бесконечно близкими точками перепишется как квадрат элемента интервала (уже бесконечно малой величины) в виде:
ds = cdt – dx – dy – dz.
Элемент пространства Минковского имеет такой простой вид еще и потому, что здесь используются координаты Лоренца, то есть декартовы координаты в совокупности с временной координатой. Этот же квадрат элемента интервала (часто его все равно называют "интервал") может быть записан в более формальном виде:
ds = ηabdxdx.
Здесь a, b = 0, 1, 2, 3; а нулевой координате обычно приписывают смысл временной, умноженной на скорость света: x = ct. Величина ηab является диагональной (отличны от нуля только элементы на диагонали) матрицей 4 × 4,
и называется метрикой Минковского. Формальная запись интервала перейдет в уже привычную, если использовать простое правило суммирования по повторяющимся индексам, например: man = m0n + m1n + m2n + m3n. Метрика ηabзадает способ измерения расстояний в пространстве Минковского в лоренцевых координатах.
Давайте "искривим" координаты (сделаем их произвольное преобразование), тогда интервал примет вид:
ds = gabdxdx.
Величина gab также называется метрикой и фактически задает способ измерения расстояний в пространстве Минковского, но в тех координатах, в которых она определена.
Важно отметить, что элемент ds, так же как и сам интервал, инвариантная величина, то есть его значение остается тем же в любых координатах. Метрика gab – это тоже матрица 4 × 4, но теперь в общем случае она уже не диагональна, ее компоненты g00, g01, g11, g12… могут быть какими-либо функциями времени и пространственных координат, см. Дополнение 1.
В искривленном пространстве-времени способ измерения расстояний между мировыми точками такой же, как в плоском в криволинейных координатах – с помощью элемента интервала. Разница в том, что для пространства Минковского возможен переход от gab к простому диагональному виду ηabво всем пространстве-времени, а для искривленного – нет. Однако в малой окрестности отдельного свободно падающего наблюдателя такой переход возможен. Ведь согласно слабому принципу эквивалентности он ощущает себя в инерциальной системе отсчета! Искривление не позволяет связывать мировые точки прямыми, поэтому мировые линии (геодезические или нет), соединяющие события, будут в общем случае кривыми. Их длина вычисляется с помощью бесконечно малых элементов интервала и последующего интегрирования.
Как элемент интервала, так и длина мировых линий (их полный интервал), также являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат.
Пространственно-временные измерения и фиксация метрических свойств осуществляются также с помощью света. Скорость света не зависит от скорости излучателей, а для каждого локального наблюдателя, измеренная в его собственной системе отсчета, имеет одно и то же стандартное значение c. При измерениях самым важным является то, что для света элемент интервала ds в силу инвариантности всегда равен нулю.