Отметим тот важный факт, что радиус Шварцшильда прямо пропорционален массе.
Вот и все, что касается темных звезд, по крайней мере на том Уровне, который был доступен Лапласу и Митчелу.
3
Недедовская геометрия
В далеком прошлом, когда такие математики, как Гаусс, Бойяи, Лобачевский и Риман, еще не успели все запутать, геометрия означала евклидову геометрию - ту самую, которую все мы учили в школе. Все начиналось с планиметрии - геометрии идеально плоской двумерной поверхности. Первичными понятиями были точки, прямые линии и углы. Мы учили, что три точки задают треугольник, если они не лежат на одной прямой, параллельные прямые никогда не пересекаются, а сумма углов любого треугольника равна 180°.
Потом, если курс обучения был таким же, как у меня, вы расширяли свои представления натри измерения. Что-то оставалось таким же, как и в двух измерениях, но что-то менялось, иначе между двумя и тремя измерениями не было бы никакой разницы. Например, в трех измерениях есть прямые линии, которые нигде не пересекаются, но при этом не параллельны; они называются скрещивающимися.
Как в двух, так и в трех измерениях законы геометрии остаются теми, что сформулировал Евклид около 300 года до нашей эры. Однако геометрии другого типа - с другими аксиомами - возможны даже в двумерном случае.
Буквальное значение слова "геометрия" - измерение Земли. Ирония в том, что если бы Евклид реально озаботился измерением треугольников на земной поверхности, он бы обнаружил, что евклидова геометрия не работает. Дело в том, что земная поверхность является сферой, а не плоскостью. В сферической геометрии, конечно, есть точки и углы, но далеко не очевидно, что в ней есть нечто подобное прямым линиям. Посмотрим, удастся ли придать какой-то смысл словам "прямая линия на сфере".
Привычный способ описания прямой линии в евклидовой геометрии состоит в том, что это кратчайший путь между двумя точками. Если я захочу построить прямую линию на футбольном поле, то вобью в землю два колышка, соединю их леской и натяну ее как можно сильнее. Натягивание лески гарантирует, что линия будет самой короткой из возможных.
Этот принцип кратчайшего пути между двумя точками можно легко распространить на сферу. Допустим, надо найти кратчайший путь между Москвой и Рио-де-Жанейро. Нам понадобится глобус, две кнопки и упругая нить. Воткнув кнопки в Москву и Рио, можно натянуть нить вдоль поверхности глобуса и определить кратчайший маршрут. Такие кратчайшие маршруты, подобные экватору и меридианам, называют большими кругами. Есть ли смысл называть их прямыми линиями в сферической геометрии? Да неважно, как мы их назовем. Важно то, как логически соотносятся между собой точки, углы и линии.
Будучи кратчайшим путем между двумя точками, такие линии являются в некотором смысле наиболее прямыми из возможных линий на сфере. Корректное математическое название для таких путей - геодезические. Если на обычной плоскости геодезические являются обычными прямыми линиями, то на сфере геодезические - это большие круги.
Большие круги на сфере
Получив эту сферическую замену прямых линий, мы можем перейти к конструированию треугольников. Отметим на сфере три точки, скажем Москву, Рио и Сидней. Затем нарисуем геодезические, попарно соединяющие эти точки: геодезическую Москва - Рио, геодезическую Рио - Сидней и, наконец, геодезическую Сидней- Москва. В результате получится сферический треугольник.
Сферический треугольник
В планиметрии, если сложить углы любого треугольника, получится ровно 180 градусов. Но если внимательно присмотреться к сферическому треугольнику, то видно, что его стороны выпячиваются наружу, что делает углы большими, чем они были бы на плоскости. В результате сумма углов сферического треугольника всегда больше 180 градусов. Про поверхность, на которой треугольники обладают таким свойством, говорят, что она имеет положительную кривизну.
Могут ли существовать поверхности противоположного свойства, а именно чтобы сумма углов треугольника была меньше 180 градусов? Пример такой поверхности - седло. Седловидные поверхности имеют отрицательную кривизну; геодезические, образующие треугольник на поверхности отрицательной кривизны, не выпячиваются, а, наоборот, втягиваются.
Итак, независимо от того, способен наш ограниченный мозг визуализировать искривленное трехмерное пространство или нет, мы знаем, как экспериментально проверить его на кривизну. Ключом служат треугольники. Выберите любые три точки в пространстве, как можно туже натяните между ними нити, чтобы образовался трехмерный треугольник. Если сумма углов составляет 180° для любого такого треугольника, то пространство плоское, если нет - искривленное.
Могут существовать геометрии намного более сложные, чем сферы и седла, - геометрии с беспорядочными холмами и долинами, имеющие области как с положительной, так и с отрицательной кривизной. Но правило для построения геодезических всегда остается простым. Представьте, что вы ползете по такой поверхности и все время держите нос прямо, никогда не поворачивая головы. Не оглядывайтесь; не заботьтесь, откуда вы пришли и куда направляетесь; просто тупо ползите вперед. Ваш путь окажется геодезической.
Представьте себе человека в инвалидном кресле, пытающегося сориентироваться в пустыне среди песчаных дюн. Имея ограниченный запас воды, он должен выбраться оттуда как можно быстрее. Округлые холмы, седловидные перевалы и глубокие долины образуют участки ландшафта с положительной и отрицательной кривизной, и в целом совершенно не очевидно, куда лучше всего направить кресло. Человек считает, что высокие холмы и глубокие долины будут замедлять его движение, так что поначалу решает объезжать их. Механизм управления креслом прост: если замедлить одно колесо относительно другого, то кресло поворачивает в этом направлении.
Однако через несколько часов человек начинает подозревать, что проезжает мимо тех же элементов рельефа, где уже был ранее. Попытки управления креслом привели к опасному случайному блужданию. Теперь он понимает, что лучшей стратегией было движение абсолютно прямо вперед, не поворачивая ни влево, ни вправо. "Езжай прямо, куда глаза глядят", - говорит он себе. Но как убедиться, что не сбился с курса?
Ответ скоро становится очевидным. У кресла есть механизм, который фиксирует два колеса друг относительно друга, так что они крутятся как единая гантель. Зафиксировав колеса таким образом, он отправляется кратчайшим путем к краю пустыни.