(2.19)
В эргодической теореме Биркгоффа о сходимости "почти всюду" функция f(х) считается принадлежащей к классу L; это значит, что
(2.20)
Функции fN(х) и fA(х) определяются, как в (2.16) и (2.17). Теорема утверждает, что для всех значений х, за исключением множества нулевой меры, существуют пределы
(2.21)
и
(2.22)
Особенно интересен так называемый эргодический, или метрически транзитивный, случай, когда преобразование Т или множество преобразований Т не оставляет инвариантным ни одно множество точек х с мерой, отличной от 1 и 0. В таком случае множество значений (для обеих эргодических теорем), на которых f(х) пробегает заданный интервал, почти всегда есть 1 или 0. Это возможно только при том условии, что [c.112]f(х) почти всегда постоянна. Тогда f(х) почти всегда равна
(2.23)
Таким образом, в теореме Купмена мы получаем предел в среднем
(2.24)
а в теореме Биркгоффа
(2.25)
за исключением множества значений х меры (или вероятности) 0. Аналогичные результаты имеют место в непрерывном случае. Это служит достаточным обоснованием производимой Гиббсом замены фазовых и временных средних.
Для случая, когда преобразование Т или группа преобразований Т не являются эргодическими, фон Нейман показал, что при очень общих условиях они могут быть сведены к эргодическим составляющим. Это значит, что, отбросив множество значений х нулевой меры, Е можно разбить на конечное или счетное множество классов Еn и континуум классов Е(y), таких, что на каждом Еn и Е(y) устанавливается мера, инвариантная при Т и Т. Все эти преобразования эргодические, и если S(y) - пересечение множества S с Е(y), Sn - пересечение множества S с Еn, то
(2.26)
Другими словами, вся теория сохраняющих меру преобразований может быть сведена к теории эргодических преобразований.
Заметим мимоходом, что вся эргодическая теория применима и к более общим группам преобразований, [c.113] чем те, которые изоморфны с группой сдвигов по прямой. В частности, ее можно применить к группе сдвигов в n измерениях. Для физики важен случай трех измерений. Пространственным аналогом равновесия во времени служит пространственная однородность, и такие теории, как теория однородного газа, жидкости или твердого тела, основаны на применении трехмерной эргодической теории. Между прочим, примером неэргодической группы преобразований сдвига в трех изменениях может служить множество сдвигов смеси раздельных состояний, таких, что в данный момент существует то или другое состояние, но не их смесь.
Одним из кардинальных понятий статистической механики, получившим также применение в классической термодинамике, является понятие энтропии. Энтропия - это прежде всего свойство областей фазового пространства; она выражается логарифмом от их меры вероятности. Например, рассмотрим динамику n частиц, находящихся в сосуде, который разделен на две части: А и В. Если m частиц находится в А и n-m в В, то это характеризует некоторую область в фазовом пространстве, имеющую определенную меру вероятности. Логарифм этой меры есть энтропия распределения "m частиц в А, n-m в В". Большую часть времени система будет пребывать в состоянии, близком к состоянию наибольшей энтропии, в том смысле, что если комбинация "m1 в А, n-m1 в В" имеет наибольшую вероятность, то большую часть времени примерно m1 частиц будет в А и примерно n- m1 в В. Для систем с большим числом частиц и состояниями, еще остающимися в пределах практической различимости, это значит, что если взять состояние с энтропией ниже максимальной и наблюдать, что произойдет, то энтропия почти всегда возрастает.
В обычных термодинамических задачах о тепловом двигателе мы имеем дело с условиями, когда в больших областях, скажем в цилиндре двигателя, существует грубое тепловое равновесие. Состояния, для которых мы исследуем энтропию, уже являются состояниями максимальной энтропии для данной температуры и объема, где речь идет о немногих областях фиксированных объемов и температуры. Даже при более тонких рассмотрениях тепловых двигателей, в частности двигателей [c.114] типа турбины, где газ расширяется гораздо более сложным образом, чем в цилиндре, эти условия не изменяются очень сильно. Мы все еще может говорить с весьма хорошим приближением о местных температурах, хотя температура определима точно лишь в состоянии равновесия и методами, предполагающими такое равновесие. Но в живом веществе мы уже не можем предполагать даже этой грубой однородности. В строении белковой ткани, которое показывает электронный микроскоп, наблюдается чрезвычайная определенность и тонкость организации, и физиология такой ткани должна обладать соответственно тонкой организацией. Эта тонкость гораздо больше, чем у пространственно-временной шкалы обычного термометра, и потому температуры, измеряемые обычными термометрами в живых тканях, представляют грубые средние величины, а не истинные термодинамические температуры. Гиббсова статистическая механика может оказаться довольно адекватной моделью того, что происходит в живом теле; картина, подсказанная обычным тепловым двигателем, - заведомо нет. Тепловой коэффициент полезного действия мышц почти ничего не значит и, уж конечно, он не значит того, что он, казалось бы, должен значить.
Очень важное значение в статистической механике имеет идея максвеллова демона. Представим себе газ, в котором частицы движутся с распределением скоростей, остающимся в статистическом равновесии при данной температуре. Для идеального газа это будет распределение Максвелла. Пусть наш газ заключен в твердый сосуд с поперечной стенкой, снабженной небольшим отверстием; отверстие закрывается дверцей, приводимой в действие привратником - человекоподобным демоном или миниатюрным механизмом. Когда частица со скоростью выше средней подходит к дверце из отделения А или частица со скоростью ниже средней подходит к дверце из отделения В, привратник открывает дверцу и частица проходит через отверстие; когда же частица со скоростью ниже средней подходит из отделения А или частица со скоростью выше средней подходит из отделения В, дверца закрывается. Таким образом, частицы большей скорости сосредоточиваются в отделении В, а в отделении А их концентрация уменьшается. Это вызывает очевидное уменьшение энтропии, [c.115] и если соединить оба отделения тепловым двигателем, мы, как будто, получим вечный двигатель второго рода.