Из всех перечисленных объектов однородна и изотропна только сфера. Она, подобно окружности, обладает совершенной симметрией: каждая точка сферы ничем не отличается от другой точки сферы. Эллипсоид, хотя и не так совершенен, как сфера, всё ещё остаётся достаточно симметричной фигурой. Например, зеркальное отражение эллипсоида ничем не отличается от оригинала. Но уже далеко не каждый участок поверхности эллипсоида неотличим от других. Груша или банан ещё менее симметричны.
Одним из способов описания поверхности является указание её кривизны. Кривизна сферы абсолютно однородна. Говоря математическим языком, сфера является пространством с однородной положительной кривизной. Эллипсоид тоже обладает всюду положительной кривизной, однако его кривизна меняется от одного места поверхности к другому. Например, вытянутый эллипсоид, форма которого напоминает подводную лодку, имеет бо́льшую кривизну на концах и меньшую посередине. Из всех примеров одна только сфера имеет всюду постоянную кривизну.
Сферы, эллипсоиды и поверхности фруктов замкнуты и ограниченны – это означает, что они имеют конечную площадь, но не имеют краёв. Но следует признать, что никто не знает, конечна ли Вселенная, ведь до сих пор не нашлось космического Магеллана, который совершил бы круговселенское путешествие. Поэтому вполне возможно, что Вселенная продолжается неограниченно далеко, и в этом случае она бесконечна и безгранична.
В том случае, если мы считаем Вселенную бесконечной, возможны две однородные и изотропные геометрии Вселенной. Первая, очевидно, представляет собой бесконечное плоское пространство. Представьте себе бесконечный во всех направлениях плоский лист бумаги. На бесконечной плоскости нет никаких выделенных точек, о которых можно было бы сказать, что они находятся ближе к центру или ближе к краю. Но в отличие от сферы, плоскость не имеет кривизны, или, говоря математическим языком, кривизна плоскости равна нулю. Итак, мы знаем две однородные геометрии: сфера с положительной кривизной и плоскость с нулевой кривизной. Остаётся ещё третий вариант: гиперболоид с отрицательной кривизной. Чтобы вообразить поверхность с отрицательной кривизной, представьте себе кусок водопроводной трубы, согнутый под прямым углом. С внешней стороны "локтя" поверхность металла имеет положительную кривизну, как сфера. Кривизна же поверхности на внутренней стороне изгиба отрицательна.
Конечно же, колено водопроводной трубы неоднородно. Внутренняя сторона колена геометрически не похожа на внешнюю, потому что их кривизны имеют разные знаки. Лучшим примером поверхности с отрицательной кривизной служит поверхность седла: представьте себе седло, поверхность которого неограниченно поднимается вверх спереди и сзади от седока и неограниченно спускается вниз справа и слева, – и вы получите представление о бесконечной поверхности, имеющей всюду отрицательную кривизну.
Все три поверхности – сфера, плоскость и гиперболоид – однородны. Более того, все три поверхности имеют аналоги в трёхмерном пространстве: 3-сфера, обычное трёхмерное евклидово пространство и более трудное для представления трёхмерное гиперболическое пространство.
Теперь, когда мы представляем себе три стандартных типа космологии, предположим, что каждая из поверхностей представляет собой резиновую плёнку (или резиновый шарик для случая сферы) с нарисованными на ней галактиками. Начав равномерно растягивать плёнку, мы убедимся, что расстояния между двумя любыми галактиками будут изменяться, следуя закону Хаббла. Теперь у вас есть примерное представление о трёх возможных однородных и изотропных космологических моделях. Космологи обозначают эти модели числом k, принимающим значения 1, 0 и –1 соответственно для положительной кривизны (сферы), нулевой кривизны (плоскости) и отрицательной кривизны (гиперболоида).
Три геометрии
Так всё же: конечна Вселенная, как предполагал Эйнштейн, или она безгранична и бесконечна и заполнена бесконечным числом звёзд и галактик? Этот вопрос мучил космологов на всём протяжении XX века, и ответ на него так и не был найден. В конце этой главы я расскажу об одном открытии и о том, как оно может повлиять на окончательный ответ.
Три судьбы
Около месяца назад, когда я сидел дома и работал над этой книгой, меня отвлёк стук в дверь. На пороге стояли три очень аккуратно одетых молодых человека и протягивали мне книжицу религиозного содержания. Обычно я не утруждаю себя общением с бродячими проповедниками, но, увидев название буклета, я не мог устоять перед соблазном задать им несколько вопросов. На титульном листе было написано: "Подготовился ли ты к концу Вселенной?" Когда я спросил у них, откуда они узнали подробности конца Вселенной, они ответили, что современные учёные подтвердили библейскую легенду об Армагеддоне и что конец Вселенной научно предопределён.
Это было, в общем, правдой. Современные учёные действительно предсказывают, что Вселенная – по крайней мере, та Вселенная, которую мы знаем, – рано или поздно завершит своё существование. Это предсказывают все разумные космологические теории. Когда и как это случится, зависит от исходных предположений, положенных в основу той или иной теории, но все теории сходятся в одном: по крайней мере в ближайшие десять миллиардов лет нам опасаться нечего.
По большому счёту, существуют два основных сценария конца света. Чтобы лучше понять их, представьте себе камень, брошенный вертикально вверх. Забудем про сопротивление воздуха и для пущей наглядности подбросим камень с поверхности маленького астероида. Судьба камня будет зависеть от того, достаточно ли притяжения астероида, чтобы удержать его около себя. В первом случае камень остановится в верхней точке своей траектории и упадёт обратно на поверхность астероида. Во втором случае он навсегда покинет астероид и улетит в мировое пространство. Исход зависит от того, больше или меньше скорости убегания начальная скорость камня. Скорость убегания, в свою очередь, зависит от массы астероида: чем больше масса, тем больше скорость убегания.
Согласно общей теории относительности, судьба Вселенной очень напоминает судьбу этого камня. Галактики (и всё прочее вещество Вселенной) были выстрелены во все стороны в результате Большого взрыва и теперь разлетаются прочь друг от друга. Между тем гравитация стремится вернуть их обратно. Другими словами, Вселенная раздувается подобно воздушному шарику, но гравитация замедляет это расширение. Будет расширение продолжаться бесконечно или гравитация в конце концов остановит его и обратит вспять? Ответ на этот вопрос аналогичен ответу на вопрос о судьбе камня, брошенного с поверхности астероида. Если масса Вселенной окажется достаточной для того, чтобы остановить расширение, то после этого галактики начнут сближаться, пока не исчезнут в ходе страшного и горячего Большого коллапса. С другой стороны, если масса Вселенной недостаточно велика, чтобы остановить расширение, оно будет продолжаться до бесконечности. В этом случае конец Вселенной будет не столь драматическим – она превратится в чрезвычайно разреженную холодную материю.
И у Вселенной и у камня есть третья возможность. Если скорость камня в точности равна скорости убегания, то скорость его удаления будет уменьшаться, стремясь в пределе к нулю. То же можно сказать и о Вселенной. В этом случае она будет расширяться вечно со всё уменьшающейся и в конечном итоге стремящейся к нулю скоростью.
Геометрия судьбы
Три возможные геометрии и три возможные судьбы – есть ли между ними связь? Да, есть. Теория гравитации Эйнштейна (без космологической постоянной) устанавливает связь между геометрией пространства и содержащимися в этом пространстве массами. Распределение масс в пространстве определяет его геометрию. Ньютоновское изречение "масса является источником гравитационного поля" в эйнштейновской теории гравитации следует заменить на другое: "масса искривляет пространство". В этом и кроется искомая связь между тремя геометриями и тремя судьбами. Детали этой связи описываются сложным тензорным исчислением и римановой геометрией, но итоговые выводы (без учёта космологической постоянной) оказываются достаточно простыми.
1. Если средняя плотность Вселенной достаточно велика, чтобы остановить расширение и обратить его вспять, то это приведёт к искривлению пространства и замыканию его в 3-сферу. В этом случае Вселенная оказывается замкнутой и ограниченной, и её судьба – финальное Большое схлопывание. На техническом жаргоне финальное состояние Вселенной в этом сценарии описывается термином сингулярность. Указанный случай носит название закрытой Вселенной, или Вселенной с k = 1.
2. Если средняя плотность Вселенной меньше, чем необходимо для того, чтобы "закрыть" Вселенную, то она будет расширяться бесконечно. В этом случае искривление пространства приведёт к гиперболической геометрии. Гиперболическая Вселенная, как уже сказано, расширяется бесконечно. Такая Вселенная называется открытой Вселенной, или Вселенной с k = –1.