Например, непрозрачное тело при обычной "комнатной" температуре 300 К (27 °C) будет испускать излучение черного тела со средней длиной волны, равной 0,29 см, деленным на 300, т. е. около одной тысячной сантиметра. Это лежит в области инфракрасного излучения, и длина волны слишком велика, чтобы наши глаза могли его видеть. В то же время, поверхность Солнца имеет температуру около 5 800 К и, следовательно, испускаемый свет имеет максимум в спектре при длине волны, равной 0,29 см, деленным на 5 800, т. е. примерно пять стотысячных долей сантиметра (5 × 10 см) или 5 000 ангстрем. (Один ангстрем равен одной стомиллионной (10) сантиметра.) Как уже отмечалось, это находится в середине той области длин волн, которую в процессе эволюции приспособились видеть наши глаза и которую мы называем видимой областью. То, что эти длины волн столь малы, объясняет тот факт, что лишь в начале девятнадцатого века была обнаружена волновая природа света: ведь только тогда, когда мы изучаем свет, прошедший через очень маленькие отверстия, мы можем заметить явления, характерные для распространения волн, такие, как дифракция.
Мы видели также, что уменьшение плотности энергии излучения при больших длинах волн связано с трудностью заключить излучение в любой объем, размеры которого меньше длины волны. В самом деле, среднее расстояние между фотонами в излучении черного тела, грубо говоря, равно средней длине волны фотона. Но мы видели, что средняя длина волны обратно пропорциональна температуре, следовательно, среднее расстояние между фотонами также обратно пропорционально температуре. Число предметов любого сорта в заданном объеме обратно пропорционально кубу среднего расстояния между ними, поэтому при излучении черного тела выполняется правило: число фотонов в данном объеме пропорционально кубу температуры.
Мы можем теперь собрать всю эту информацию воедино, чтобы сделать ряд выводов о количестве энергии в излучении черного тела. Количество энергии в одном литре, или "плотность энергии", есть просто число фотонов в одном литре, умноженное на среднюю энергию одного фотона. Но мы видели, что число фотонов в одном литре пропорционально кубу температуры, в то время как средняя энергия фотона просто пропорциональна температуре. Отсюда, количество энергии в одном литре излучения черного тела пропорционально кубу температуры, умноженному на температуру, или, другими словами, четвертой степени температуры. Выражая это количественно, находим, что плотность энергии излучения черного тела равна 4,72 эВ на литр при температуре 1 К, 47 200 эВ на литр при температуре 10 К и так далее. (Это правило известно как закон Стефана-Больцмана.) Если микроволновой шум, обнаруженный Пензиасом и Вилсоном, действительно является излучением черного тела с температурой 3 К, то плотность энергии его должна быть равной 4,72 эВ на литр, умноженным на три в четвертой степени, т. е около 380 эВ на литр. Когда температура была в тысячу раз больше, плотность энергии была в миллион миллионов (10) раз больше.
Теперь мы можем вернуться к вопросу о происхождении древнего микроволнового излучения. Мы видели, что должно было быть время, когда Вселенная была столь горячей и плотной, что атомы были диссоциированы на составляющие их ядра и электроны, и рассеяние фотонов на свободных электронах устанавливало тепловое равновесие между веществом и излучением. С течением времени Вселенная расширялась и охлаждалась, достигнув в конце концов температуры (около 3 000 К), достаточно низкой для того, чтобы позволить ядрам и электронам скомбинироваться в атомы. (В астрофизической литературе это обычно называют "рекомбинацией", т. е. крайне неудачным термином, так как к моменту времени, который мы рассматриваем, ядра и электроны еще никогда за всю предыдущую историю Вселенной не были скомбинированы в атомы!) Внезапное исчезновение свободных электронов нарушило тепловой контакт между излучением и веществом, после чего излучение продолжало свободно расширяться.
К тому моменту, как это случилось, энергия поля излучения при различных длинах волн определялась условиями теплового равновесия и поэтому давалась планковской формулой для черного тела с температурой, равной температуре вещества, - около 3 000 К. В частности, средняя длина волны фотона должна была быть около одного микрона (десятитысячная доля сантиметра, или 10 000 ангстрем), а среднее расстояние между фотонами примерно равнялось этой средней длине волны.
Что случилось с фотонами после этого? Отдельные фотоны не рождались и не уничтожались, поэтому среднее расстояние между ними просто увеличивалось пропорционально размеру Вселенной, т. е. пропорционально среднему расстоянию между типичными галактиками. Но мы видели в предыдущей главе, что эффект космологического красного смещения заключается в "растяжении" длины волны любого луча света в процессе расширения Вселенной; следовательно, длины волн всех отдельных фотонов также просто увеличивались пропорционально размеру Вселенной. Поэтому расстояние между фотонами оставалось равным средней длине волны, в точности как в излучении черного тела. И действительно, выразив эти аргументы количественно, можно показать, что излучение, заполняющее Вселенную, будет продолжать в процессе ее расширения описываться в точности планковской формулой для черного тела, даже несмотря на то, что оно уже больше не находится в тепловом равновесии с веществом. (См. математическое дополнение 4) Единственный эффект расширения будет заключаться в увеличении средней длины волны фотонов пропорционально размеру Вселенной. Температура излучения черного тела обратно пропорциональна средней длине волны, поэтому она будет падать при расширении Вселенной обратно пропорционально ее размеру.
В частности, Пензиас и Вилсон нашли, что интенсивность микроволнового фона, который был ими обнаружен, соответствует температуре примерно З К. Это как раз то, что следует ожидать, если Вселенная расширилась в 1000 раз с тех пор, когда температура была достаточно высока (3 000 К) для того, чтобы держать вещество и излучение в тепловом равновесии. Если подобная интерпретация правильна, то трехградусный радиофон представляет в настоящее время самый древний сигнал из всех, принятых астрономами, испущенный задолго до испускания света самыми далекими из видимых нами галактик.
Но Пензиас и Вилсон измерили интенсивность космического радиофона на единственной длине волны 7,35 см. Сразу же стало необходимо как можно быстрее определить, описывается ли распределение энергии излучения по длинам волн формулой Планка для черного тела, как того следует ожидать, если это действительно смещенное в красную сторону древнее излучение, оставшееся от той эпохи, когда вещество и излучение находились в состоянии теплового равновесия. Если это так, то эквивалентная температура, вычисленная подстановкой наблюдаемой интенсивности радиошума в планковскую формулу, должна иметь одно и то же значение на всех длинах волн, такое же, как и на волне длиной 7,35 см, изученной Пензиасом и Вилсоном.
Мы видели, что к моменту открытия Пензиаса и Вилсона в Нью-Джерси уже готовилась другая попытка обнаружить космический фон микроволнового излучения. Вскоре после появления первой пары работ двух групп ученых из лабораторий фирмы Белл и Принстона Ролл и Уилкинсон объявили свой результат: эквивалентная температура фона излучения на длине волны 3,2 см составляла от 2,5 до 3,5 К. Это значило, что в пределах экспериментальных погрешностей интенсивность космического фона на длине волны 3,2 см была больше, чем на длине волны 7,35 см как раз в то количество раз, которое следовало ожидать, если излучение описывается формулой Планка!
Начиная с 1965 года интенсивность древнего микроволнового излучения была измерена радиоастрономами более чем на дюжине длин волн в интервале от 73,5 вплоть до 0,33 см. Каждое из этих измерений согласуется с планковским распределением энергии в зависимости от длины волны с температурой между 2,7 и З К.
Однако, прежде чем мы окончательно придем к выводу, что это действительно излучение черного тела, мы должны напомнить, что средняя длина волны, на которой планковское распределение достигает максимума, равна 0,29 см, деленным на температуру в градусах Кельвина, что для температуры 3 К оказывается чуть меньше 0,1 см. Таким образом, все упомянутые микроволновые измерения относились к длинноволновой стороне по отношению к максимуму планковского распределения. Но мы видели, что рост плотности энергии с уменьшением длины волны в этой части спектра происходит просто из-за трудности заключения больших длин волн в малые объемы, и этот рост следует ожидать для разнообразных полей излучения, включая и излучение, которое не образовано в условиях теплового равновесия. (Радиоастрономы называют эту часть спектра областью Рэлея-Джинса, так как она была впервые проанализирована лордом Рэлеем и сэром Джеймсом Джинсом.) Чтобы убедиться в том, что мы действительно видим излучение черного тела, необходимо пройти через максимум планковского распределения в область коротких волн и проверить, что плотность энергии на самом деле падает с уменьшением длины волны, как ожидается на основе квантовой теории. При длинах волн короче 0,1 см мы, в действительности, находимся вне сферы деятельности радио- или микроволновой астрономии и попадаем в новую область инфракрасной астрономии.