Кнут, конечно, понимал, что если равенство классов докажут, то все его усилия по изобретению названия пропадут даром, поскольку NP-полные задачи "переедут" в класс P. Однако такая перспектива ученого не пугала. "Мне даже хочется, чтобы эта "неприятность" случилась, – пишет он. – Более того, за решение проблемы я объявляю награду: тот, кто первый докажет, что P = NP, получит от меня настоящую живую индейку". Что ж… докажите равенство P и NP – и получите миллион долларов и индейку в придачу!
После Карпа
Работа Карпа послужила толчком к дальнейшему развитию информатики. NP-полные задачи множились, как грибы; профессора и аспиранты по всему миру брались за известные поисковые проблемы (а также находили новые) и доказывали их NP-полноту. В классическом труде 1979 года приводится более трехсот основополагающих NP-полных задач. Число их неудержимо растет; NP-полные задачи возникают не только в информатике и математике, но и в физике, биологии, экономике и во многих других областях. Поиск по Академии Google выдает более 138000 научных статей об NP-полноте за период с 1972 по 2011 год, и в одном только 2011 году на эту тему было создано около 10000 работ. Вряд ли имеет смысл приводить здесь список всех NP-полных задач, однако мне хотелось бы дать вам представление о некоторых из них.
Доминирующее множество
Существует ли в Королевстве группа из 50 человек, в которой у каждого жителя есть хотя бы один друг? NP-полная задача.
Разбиение на треугольники
Комнаты в общежитии Королевского технологического рассчитаны на трех человек. Можно ли расселить студентов таким образом, чтобы в каждой комнате жили только друзья? NP-полная задача.
Гигантские судоку
Судоку – это японская головоломка с числами. В классическом варианте используется квадратная сетка 9 × 9 (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Классический вариант судоку
Рис. 4.3. Решение судоку из рис. 4.2
Цель игры – заполнить пустые клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке, каждом столбце и каждом жирно очерченном квадрате 3 × 3 эти цифры не повторялись.
Судоку лежит в классе NP, поскольку проверить имеющееся решение труда не составляет. Вы спросите, насколько сложно это решение найти? На самом деле все не так уж страшно: обычный среднестатистический компьютер при помощи простого перебора с возвратом решает классический вариант всего за несколько секунд.
А как обстоит дело с игрой на большом поле? Например, с сеткой 25 × 25, в которой каждая строка, каждый столбец и каждый мини-квадрат должны содержать все буквы от A до Y?
В этом случае вычисление займет уже гораздо больше времени, а с сеткой 100 × 100 вообще ни один современный компьютер не справится.
Рис. 4.4. Гигантское судоку
Поиск решения гигантского судоку – задача NP-полная. Считаете себя мастером судоку? Или знаете надежный способ решения какой-нибудь другой гигантской головоломки? Тогда в ваших руках ключ от решения задачи о выполнимости, задачи коммивояжера и тысячи других NP-полных проблем!
Есть еще много игр для одного игрока, решение которых представляет собой NP-полную задачу. Возьмем, к примеру, встроенного в Microsoft Windows "Сапера".
Рис. 4.5. "Сапер"
Число в ячейке говорит о количестве мин, расположенных в соседних с ней квадратиках – по вертикали, горизонтали и диагонали. Вы должны либо открыть ячейку, чтобы узнать это число, либо поставить на ней флажок, если думаете, что в ячейке бомба. Откроете бомбу – проиграете. Нахождение выигрышной стратегии в гигантском "Сапере" также представляет собой NP-полную задачу. На рисунке ниже показано расположение оставшихся бомб.
Другой пример – "Тетрис", в котором нужно передвигать и поворачивать фигурки так, чтобы образовывались сплошные горизонтальные ряды. Заполненный ряд тут же исчезает. Игра заканчивается, когда на экране больше не осталось свободных рядов; цель играющего – продержаться как можно дольше.
Фигурки бывают разных форм. В классическом варианте "Тетриса" вы не знаете, какая фигурка выпадет следующей. Впрочем, если бы вам даже заранее сообщили последовательность появления фигурок, выбор оптимальной стратегии все равно остался бы NP-полной задачей.
Рис. 4.6. Оставшиеся бомбы
Рис. 4.7. "Тетрис"
Кто бы мог подумать, что, научившись мастерски играть в судоку, "Тетрис" или "Сапер", можно доказать равенство P и NP и решить одну из задач тысячелетия!
Рис. 4.8. Виды фигурок в "Тетрисе"
Как насчет кубика Рубика? Наверняка это тоже NP-полная задача: ведь если даже освоение классического варианта 3 × 3 × 3 занимает столько времени, что уж говорить о больших кубах?
Рис. 4.9. Кубик Рубика. Фото: Том ван дер Занден
На самом деле все совсем не так. Благодаря такой области математики, как теория групп, у нас есть эффективные алгоритмы, способные справиться даже с гигантскими кубами. Оптимального решения они не дают, но все же позволяют собрать кубик относительно быстро вне зависимости от его начального состояния.
Верится с трудом, но это правда – кубик Рубика намного проще "Тетриса", "Сапера" и судоку.
А как обстоит дело с играми для двоих? Шахматы, шашки, го, "Отелло"? Если говорить о гигантских версиях, то они не уступают по сложности ни проблеме выполнимости, ни другим NP-полным задачам, однако к классу NP, тем не менее, не принадлежат. Вы спросите, почему? Потому что если я скажу, что белые обеспечат себе выигрыш, передвинув пешку на "e3", то вы вряд ли сможете быстро это проверить. Ученые полагают, что на самом деле эти игры намного труднее любой NP-полной задачи.
Цепочка из почек
Почки выводят из организма балластные вещества. У большинства людей обе почки здоровы; если одна отказала, другая будет работать за двоих, позволяя человеку жить полноценной жизнью. Иногда отказывают обе почки, и тогда от смерти может спасти только регулярный диализ, который дорого стоит и отнимает много времени.
Если ваши почки здоровы, вы можете стать донором и отдать одну из них тому, у кого почки не функционируют вообще, – при условии совместимости с организмом реципиента. Совместимость проверяется с помощью несложного анализа крови.
Допустим, почки Элис вышли из строя. Ее муж, Боб, согласен стать донором. Если Боб пройдет тест на совместимость, врачи пересадят Элис его почку.
А если не пройдет? Тогда можно будет попытаться совершить обмен почками.
Предположим, Чарли требуется почка, его брат Дэвид готов отдать свою, но его почка не подходит. Если Дэвид совместим с Элис, а Боб – с Чарли, то можно провести операцию сразу на четырех пациентах, и в результате и Элис, и Чарли получат рабочую почку.
Представьте, что у нас имеется база данных с информацией по всем совместимым парам донор-реципиент. Тогда мы можем запустить на ней эффективный алгоритм, который найдет наибольшее возможное число обменов. Задача совсем не сложная и аналогична задаче о максимальном числе паросочетаний, рассмотренной в предыдущей главе.
Ограничиваться двумя парами за раз совсем не обязательно. В конце 2011 года силами шестидесяти хирургов была проведена цепочка из тридцати таких операций. Для тридцати человек это был единственный способ обрести здоровье.
Если мы в нашей базе разрешим обмен по цепочке, желая помочь как можно большему числу людей, то снова придем к NP-полной задаче. Равенство P и NP спасет чьи-то жизни, а это уже гораздо серьезнее, чем гарантированный выигрыш в игре "Сапер"!
Мастера конспирации
Как правило, те NP-задачи, которыми ученые занимались в середине семидесятых, довольно быстро либо оказывались NP-полными, либо "скатывались" в класс P, поскольку для них появлялись эффективные алгоритмы. Однако некоторые особо вредные экземпляры упорно не желали поддаваться классификации; одни сумели продержаться несколько лет, другие не удалось рассекретить до сих пор.