Решение головоломки "Путешествие по додекаэдру"
Рис. 3.18. Обход додекаэдра
Глава 4. Самые трудные задачи класса NP
Психолог проводит эксперимент над математиком. Математика посадили в маленький деревянный сарай; на полу лежит лучина для растопки, рядом стоит стол, а на нем – ведро с водой. Психолог поджигает лучину. Математик хватает ведро и заливает огонь водой.
Пока все идет по плану. Психолог повторяет эксперимент, изменив одну незначительную деталь. Математика снова сажают в сарай; внутри тот же стол, на полу такая же лучина, есть и ведро с водой, но стоит оно не на столе, а рядом с лучиной на полу. Психолог поджигает лучину. Математик хватает ведро и ставит его на стол. В результате сарай выгорел дотла; математика, к счастью, успели в последний момент вытащить.
"Почему вы просто не залили огонь?!" – спрашивает психолог. "Я свел новую задачу к уже решенной", – отвечает математик.
Старый математический анекдот
Первая NP-полная задача
В 1970 году Том Хал, глава факультета информатики Университета Торонто, загорелся идеей переманить к себе Стивена Кука, которому не хотели давать постоянное место в Калифорнийском университете в Беркли. Зная любовь Кука к парусному спорту, Хал отвез его на озеро Онтарио: он хотел доказать, что в окрестностях Торонто ходить под парусом почти так же приятно, как и в заливе Сан-Франциско. Хитрость удалась, и осенью 1970 года Кук пополнил ряды специалистов Торонтского университета. Со стороны Хала это был блестящий ход, поскольку в скором времени Кук прославился на весь мир и стал самым известным канадским ученым в области теории вычислений.
Кук проводил исследования на стыке математической логики и теоретической информатики. Той осенью он отправил одну из своих работ на рассмотрение комиссии III Международного симпозиума по теории вычислений (Symposium on the Theory of Computing, сокращенно – STOC), проводимого Ассоциацией вычислительной техники. Симпозиум должен был состояться в мае 1971 года. В статье Кука содержались результаты, полученные им задолго до того и не вызвавшие в свое время ажиотажа. Исследования ученого заинтересовали комиссию, и заявку приняли. К началу конференции Кук почти все переделал; в новой статье, которая называлась The Complexity of Theorem-Proving Procedures, он впервые сформулировал проблему равенства классов P и NP и тем самым полностью изменил ход истории.
Чтобы лучше понять результаты Кука, вернемся к рассмотренной в предыдущей главе задаче о клике. Как вы помните, кликой мы называем группу жителей Королевства, в которой все дружат между собой. На представленной ниже схеме дружеских связей Алекс, Кэти и Эрик образуют клику, а вот Алекс, Дэвид и Эрик – нет, поскольку Алекс не дружит с Дэвидом.
Рис. 4.1. Задача о клике
Мы уже знаем, что в Королевстве есть полусекретное и довольно многочисленное сообщество "Альфа". "Альфовцы" утверждают, что все они дружат между собой, т. е. образуют гигантскую клику. Если это действительно так, то какие сведения можно почерпнуть о них из приведенной выше схемы? Теоретически каждый из пяти может входить в "Альфу". Нельзя исключить вероятность того, что Алекс или Дэвид входят в сообщество, однако они не могут быть там одновременно, поскольку дружбы между ними нет; значит, один из них в сообщество точно не входит. Запишем этот вывод в виде логического выражения:
Алекс не в "Альфе" ИЛИ Дэвид не в "Альфе".
"ИЛИ" здесь не исключающее: возможен вариант, при котором ни Алекс, ни Дэвид не входят в сообщество. Алекс и Барбара тоже враждуют, а следовательно – не могут оба входить в "Альфу". Запишем и это:
Алекс не в "Альфе" ИЛИ Барбара не в "Альфе".
Оба утверждения должны выполняться одновременно, а значит, мы имеем:
(Алекс не в "Альфе" ИЛИ Дэвид не в "Альфе")
И
(Алекс не в "Альфе" ИЛИ Барбара не в "Альфе").
Барбара и Дэвид – друзья, поэтому они вполне могут одновременно входить в "Альфу", и построенное нами выражение такой возможности не исключает. Проанализировав всю схему, мы в итоге получим следующее выражение:
(Алекс не в "Альфе" ИЛИ Дэвид не в "Альфе") И (Алекс не в "Альфе" ИЛИ Барбара не в "Альфе") И (Дэвид не в "Альфе" ИЛИ Кэти не в "Альфе") И (Кэти не в "Альфе" ИЛИ Барбара не в "Альфе").
Допустим, Алекс, Кэти и Эрик принадлежат сообществу, а Барбара и Дэвид – нет; тогда наше выражение истинно, так как в каждом условии "ИЛИ" упоминается кто-то, кто в "Альфу" не входит. Теперь предположим, что сообществу принадлежат Алекс, Дэвид и Эрик. Тогда условие (Алекс не в "Альфе" ИЛИ Дэвид не в "Альфе") не выполняется, поскольку и Алекс, и Дэвид входят в сообщество, а значит – ложно и все выражение.
Наше выражение будет истинно только в том случае, когда все "альфовцы" действительно дружат между собой; с помощью подобных выражений клики отлавливаются очень легко.
Аналогичную конструкцию можно составить и для всех 20 тысяч жителей Королевства. В результате получится огромное, содержащее несколько миллионов символов выражение – впрочем, не настолько длинное, чтобы не уместиться в компьютер. Для краткости обозначим его буквой Φ. Очевидно, что Φ будет истинно только тогда, когда "альфовцы" в самом деле образуют клику.
Через Ψ50 обозначим выражение, истинное в том случае, если в "Альфу" входят хотя бы 50 человек. Не будем углубляться в его структуру; достаточно будет сказать, что построить его можно тем же способом, каким первые цифровые компьютеры выполняли сложение чисел.
Соединим наши выражения в одно: (Ψ50 И Φ). Если члены сообщества образуют клику размером не меньше 50, то новое выражение примет значение "истина", и наоборот – если выражение истинно, то члены сообщества образуют клику размером не меньше 50.
Логическое выражение, проверяющее принадлежность к сообществу, называется выполнимым, если сообщество можно составить таким образом, что выражение примет значение "истина". Выражение (Ψ50 И Φ) выполнимо, когда в сообществе есть клика размера не меньше 50.
Предположим, у нас есть быстрый алгоритм, проверяющий выполнимость логического выражения. Подадим ему на вход выражение (Ψ50 И Φ); если алгоритм ответит "да", то в Королевстве существует клика размера 50, а если "нет" – то не существует. Таким образом, алгоритм решения задачи о выполнимости позволяет решить и задачу о клике.
То, чем мы сейчас тут занимались, называется процессом сведения одной задачи к другой. Сведение широко используется в теории сложности, и мы с вами только что свели проблему клики к проблеме выполнимости логического выражения, показав тем самым, что любой метод решения задачи о выполнимости можно применить и к задаче о клике. Появление эффективного алгоритма для задачи о выполнимости означало бы, что такой алгоритм существует и для задачи о клике; найти клику не труднее, чем определить условия выполнимости, и если задачу о выполнимости можно легко решить – значит, задача о клике тоже легко решаема. С другой стороны, если бы кому-то удалось доказать, что для задачи о клике эффективного алгоритма не существует, это означало бы, что его не существует и для задачи о выполнимости.
На самом деле к проблеме выполнимости, или SAT (от англ. satisfiability – выполнимость), сводится не одна лишь задача о клике, но и другие задачи класса NP, которые мы обсуждали ранее, включая задачу о коммивояжере, поиск гамильтонова пути, построение максимального разреза и раскраску карт. Стивен Кук доказал, что любая проблема из NP сводится к проблеме выполнимости. Решите проблему выполнимости – и у вас будет ключ ко всем проблемам из NP. Появление эффективного алгоритма для задачи о выполнимости будет означать, что такой алгоритм существует для всех задач, решение которых легко проверяется, а следовательно, P = NP. Создайте эффективный алгоритм решения проблемы SAT – и получите миллион долларов от Института Клэя!
Сама проблема SAT также принадлежит NP, поскольку для любого набора входных переменных истинность логического выражения проверяется относительно быстро. В классе NP эта задача является универсальной или, как еще говорят, самой трудной, или NP-полной. Доказать наличие эффективного алгоритма для ее решения значит доказать равенство P и NP.
Симпозиум проходил в городке Шейкер-Хайтс в штате Огайо, в отеле Somerset Inn, принадлежащем компании Stouffer. Стивен Кук выступил с докладом 4 мая 1971 года.
"Полученные результаты дают нам основания полагать, что проблема выполнимости – задача чрезвычайно любопытная, поскольку она, по всей видимости, не имеет эффективных методов решения. Думаю, стоит попытаться доказать данную гипотезу: в теории сложности это стало бы величайшим прорывом".
С того дня и ведет свою историю проблема равенства P и NP.