"Мы взяли 18 цифр π. Легко представить себе, какую невообразимо малую погрешность сделали бы, при огромности вычисляемой окружности, если бы воспользовались для π всеми известными его цифрами.
"Из сказанного ясно, как заблуждаются те, которые думают, будто науки изменили бы свой вид, и их применения много выиграли бы от нахождения точного π, если бы оно существовало".
Итак, даже для астрономии, - науки, прибегающей к наиболее точным вычислениям, - не требуется вполне точного решения квадратуры круга.
Десять задач
1. В старину при определении площади круглого участка землемеры часто поступали так: считали круг равновеликим квадрату, периметр которого равен длине окружности измеряемого участка. Какую относительную ошибку (в процентах) они при этом делали, если принять π=3,14? (Этот способ восходит к временам древнего Египта; он указан, наряду с другими, в папирусе Ринда. В средние века он был широко распространен также в Европе).
2. В древней египетской рукописи (в "папирусе Ринда") находим следующее правило для определения площади круга: она равна площади квадрата, сторона которого составляет 
диаметра круга. Определите относительную ошибку такого расчета в %%, принимая π=3,14.
3. У нас встарину употреблялся сходный с древнеегипетским (см. предыдущую задачу) прием вычисления площади круга, рекомендуемый старинными русскими руководствами по землемерному делу площадь круга приравнивалась площади квадрата со сторонами равными 
диаметра. Какой способ точнее - этот или древнеегипетский?
4. Валлис нашел (1656 г.) для вычисления π следующий ряд
и т. д.
Лейбниц вывел (1674) такое равенство:
Почему этими равенствами нельзя воспользоваться для точной квадратуры круга?
5. Индусский математик Брамагупта (VII век) предложил для π следующее приближенное выражение:
Как помощью этого выражения приближенно решить задачу о квадратуре круга?
6. Проверьте следующее приближенное равенство:
Как воспользоваться этим соотношением для приближенной квадратуры круга?
7. Проверьте приближенное равенство
Как воспользоваться им для приближенной квадратуры круга?
8. Проверьте следующее соотношение: периметр прямоугольного треугольника с катетами в 
и 
диаметра круга, приближенно равен длине окружности этого круга.
Как помощью этого соотношения приближенно решить задачу о квадратуре круга?
9. Голландский инженер Петр Меций нашел (в 1585 г.) для π легко запоминаемое выражение 
. Представив его в виде десятичной дроби, установите, сколько в ней верных цифр.
10. Придумайте самостоятельно какое-нибудь правило, практически удобное для быстрого приближенного вычисления площади круга.
Ответы и указания
1. Если радиус круга R, то площадь его πR, а длина окружности 2πR, Квадрат, площадь которого старинное правило принимает равной площади круга, имеет сторону длиною 
. Площадь такого квадрата равна
Отношение
показывает, что старинное правило дает преуменьшение почти на 22 %.
2. Из отношения
легко установить, что изложенное в задаче правило дает преувеличение примерно на 0,6 %.
3. Правило дает преуменьшение примерно на 2½%.
4. Оба выражения не решают задачи о квадратуре круга, потому что они не могут быть найдены помощью конечного числа математических операций.
5. Построив (рис. 6) прямоугольный треугольник с катетами в 1 и 3 единицы длины, получаем гипотенузу длиною в 
, т. е. 
тех же единиц. Этот отрезок приближенно выражает длину окружности, диаметр которой равен взятой единице длины. Зная это, можно построить прямоугольник, приближенно равновеликий кругу; таким прямоугольником будет, например, прямоугольник со сторонами в 1 и 
единиц длины.
Построенный прямоугольник легко превратить в равновеликий квадрат. (См. рис. 3 и относящийся к нему текст).
6. Сумма 
. Зная, что при радиусе, равном единице длины, 
есть сторона вписанного квадрата (рис. 4), a 
- сторона вписанного равностороннего треугольника (рис. 5), легко построить отрезок, приближенно равный длине полуокружности. Дальнейший ход построения читатель найдет сам, руководствуясь указаниями, данными выше.
7. Сумма 
. Для построения отрезка в 
единиц длины, надо уметь построить отрезок равный 
единиц длины. Построение может быть выполнено, как нахождение средне-пропорционального между отрезками в 1 и 1,8 ед. длины (рис. 7). Далее - см. решения предыдущих задач.
8. Так как выражение
равно , то задача является видоизменением предыдущей.
9. Семь верных цифр.
10. Подобных правил можно предложить много. Вот одно из возможных: площадь круга приближенно равна ¾ площади описанного квадрата плюс половина десятой доли этой величины. Легко видеть, что здесь π принимается равным 3,15 - приближение достаточное для многих практических целей.
Что читать
Исторические сведения, относящиеся к задаче о квадратуре круга, изложены в книгах:
Цейтен, Г. - История математики в древности и в средние века. ГТТИ. 1932. 230 стр.
Кэджори, Ф. - История элементарной математики. "Mathesis". 1917. 478 стр.
Чвалина, А. - Архимед. ГТТИ. 1934. 40 стр.
Полезные сведения дают брошюры:
Бончковский, Р. - Площади и фигуры, Акад. Наук СССР. 1937. 136 стр.
Лебедев, В. - Очерки по истории точных наук. Вып. IV. Знаменитые геометрические задачи древности. 1920. 71 стр.
Самым полным сочинением на эту тему является книга:
О квадратуре круга. ОНТИ. 1936. 236 стр. Классические сочинения Архимеда, Гюйгенса, Ламберта и Лежандра, которым предпослан очерк по истории вопроса Ф. Рудио.
Информация об издании
Ответственный редактор В. А. КАМСКИЙ.
Набор и матрицы изготовлены в Типографии № 1 им. Володарского, управление издательств и полиграфии исполкома Ленгорсовета, Л-град, Фонтанка, 57. М 49584. Подп. к печати 16/IV 1941 г. Заказ № 4021
Тираж 50.000 экз.
Отпечатано с матриц в тип. "Печатный Труд". Ленинград, В. О., 11 лин., д. 40. Зак. 2306
-
Примечания
1
"Жизненный эликсир" - напиток, будто бы дарующий бессмертие. "Философский камень" - вещество, которое, как верили алхимики, способно превращать дешевые металлы в золото.
2
"А площадь этого круга, - говорит Араго в другом месте книги, - можно вычислить с точностью до величины пространства, занимаемого мельчайшей пылинкой".