— Ничего себе «по-хорошему!» — взорвался от негодования Сэм- старший. — Да ты просто юный мошенник! Вот как ты используешь свое математическое образование! Впрочем, придется тебе подождать до завтра — возможно, мне удастся найти слабое место в твоих рассуждениях.
Весь день до самого вечера Сэм снова и снова перебирал в уме рассуждения сына, но никак не мог обнаружить в них ошибки. Все выглядело так, словно он, Сэм-старший, действительно должен был платить сыну по 1 доллару за каждое последующее бросание монеты и таким образом отдать Сэму-младшему все свои деньги. Доведенный почти до отчаяния, Сэм-старший вдруг вспомнил, что частенько встречал в клубе невысокого седоголового человека, о котором говорили, что он отставной профессор математики.
— Ну разве мой сын не умница? — со смешанными чувствами подумал Сэм-старший. — Насколько мне помнится, тот пожилой джентльмен всегда проигрывал, несмотря на все свои познания в математике.
Отыскав имя и адрес профессора в книге регистрации членов клуба, Сэм-старший в тот же вечер постучал в дверь дома, где жил профессор.
— Хочу сделать вам предложение, — заявил Сэм профессору. — Я берусь оплатить все ваши долги в клубе, если вы поможете мне решить одну математическую задачу.
И Сэм-старший поведал профессору свои затруднения.
— Очень любезно с вашей стороны, — ответил профессор, потирая руки. — Трюк, к которому прибег ваш сын, известен в теории вероятностей под названием Петербургского парадокса и был придумал швейцарским математиком Леонардом Эйлером, состоявшим в ту пору на службе при российском императорском дворе. Не сочтите за нескромность, но могу ли я спросить, сколько денег на вашем банковском счете?
— Но я вовсе не желаю выплачивать все свои деньги этому мальчишке!
Проходящие поезда
В небольшом городке на северо-западе США жил вышедший на пенсию машинист Уильям Джонсон. Железнодорожная магистраль, на которой он прослужил долгие годы, проходила через городок. Мистера Джонсона мучила бессонница и он частенько просыпался среди ночи и не мог заснуть до утра. Иногда в подобных случаях мистер Джонсон отправлялся на прогулку по пустынным улицам городка и неизменно приходил к переезду. Там он стоял, задумчиво глядя на рельсы, пока мимо, словно возникнув из ночной тьмы, не проносился поезд. При виде мелькающих вагонов на душе у мистера Джонсона становилось легче, он брел к себе домой и с высокой вероятностью засыпал.
Спустя некоторое время мистер Джонсон сделал прелюбопытное наблюдение: большинство поездов, которые он видел на переезде, шли в восточном направлении и лишь немногие — в западном, между тем мистеру Джонсону было прекрасно известно, что на этой линии на восток и на запад ходило одинаковое количество поездов, причем восточные и западные поезда чередовались. Мистер Джонсон уже было решил, что ошибся в своих подсчетах и, чтобы избавиться от сомнений, обзавелся блокнотом, в котором стал отмечать буквами «В» и «3» проходившие мимо поезда в зависимости от того, в каком направлении они шли. К концу первой недели набралось пять «В» и только две «3». Наблюдения на следующей неделе дали такое же соотношение.
— Может быть, все дело в том, что я просыпаюсь ночью в одно и то же время, — подумал, мистер Джонсон, — и прихожу к переезду незадолго до прохождения поездов, идущих на восток?
Озадаченный, мистер Джонсон решил предпринять строгое статистическое изучение проблемы и распространить наблюдения на дневное время. Он попросил своего приятеля составить для него длинный перечень произвольно выбранных моментов времени, например 9.35 утра, 12.00 — полдень, 3.07 дня и т. д., и, стоя у железнодорожного переезда, скрупулезно отмечал поезда, проходившие в указанное в перечне время на восток или на запад. Но все было тщетно: результат оказался тем же, что и прежде. Из ста поездов, проследовавших через переезд мимо мистера Джонсона, около семидесяти пяти шли на восток и только двадцать пять — на запад. В отчаянии мистер Джонсон даже позвонил в депо ближайшего большого города, пытаясь выяснить, не направлялись ли восточные поезда по какой-нибудь другой линии, но его заверили, что ничего подобного не происходило, все поезда следуют точно по расписанию и что поездов, идущих в восточном направлении, ровно столько же, сколько идущих на запад. Таинственное предпочтение поездов к направлению на восток довело мистера Джонсона до отчаяния. Он совсем потерял сон и тяжело заболел.
Местный врач, к которому обратился мистер Джонсон, был большим любителем математики и на досуге собирал задачи-головоломки.
— Это что-то новенькое, — заключил он, когда мистер Джонсон поведал ему о причинах своих треволнений. — Впрочем, минуту! Ведь должно же существовать какое-то рациональное объяснение!
И, поразмыслив несколько минут, врач дал правильное объяснение мучившей мистера Джонсона головоломке.
— Видите ли, — начал врач свое объяснение, — все дело именно в том, что поезда идут строго по расписанию, хотя вы и приходите к железнодорожному переезду в случайно выбранные моменты времени. Предположим, что поезда, идущие на восток, проходят через переезд в начале каждого часа, а поезда, идущие на запад, — каждый час с четвертью. Пусть число поездов, идущих на восток и на запад, будет одинаковым. Выясним теперь, какой поезд первым пройдет мимо вас, когда вы встанете у переезда. Если вы прибудете после начала часа, но не позже, чем час с четвертью, скажем, между 1.00 и 1.15, то первым мимо вас проследует поезд на запад, т. е. поезд, проходящий в 1.15. Но если вы опоздаете к этому поезду, то следующий поезд пройдет в 2.00 на восток.
Так как вы приходите на переезд в случайно выбранные моменты времени, то вероятность того, что вы прибудете в первую четверть часа, в три раза меньше, чем вероятность, что вы прибудете в остальные три четверти часа. Следовательно, вероятность, что первый поезд пройдет на восток, в три раза больше, чем вероятность, что он пройдет на запад. Именно это вы и наблюдали.