Всего за 529 руб. Купить полную версию
Очень современный взгляд.
В смысле?
Долгое время подразумевалось, сказал Алан, что математика своего рода физика пробок. Что любую математическую операцию, которую ты выполняешь на бумаге, как бы ни была она сложна, можно свести по крайней мере в теории к перекладыванию реального счетного материала вроде пробок в реальном мире.
Нельзя же взять две целые одну десятую пробки.
Ладно, ладно, пусть будут пробки для целых чисел, и для таких, как две целые одна десятая физические меры, например длина этой палки. Алан положил палку рядом с пробками.
Как насчет «p»? Нельзя отпилить палку длиной ровно «p» дюймов.
«p» из геометрии. Та же история, вставил Руди.
Да, считалось, что Евклидова геометрия на самом деле своего рода физика, что его прямые и все такое описывают свойства физического мира. Но знаешь Эйнштейна?
Я не очень запоминаю фамилии.
Седой, с большими усами.
А, да, мрачно ответил Лоуренс. Я подходил к нему с вопросом про шестеренки. Он сказал, что опаздывает на встречу.
Он придумал общую теорию относительности своего рода практическое приложение, но не Евклидовой, а Римановой геометрии
Тот же Риман, что твоя дзета-функция?
Тот же Риман, другое направление. Не уводи нас в сторону, Лоуренс
Риман показал, что существует много-много геометрий, которые, не являясь Евклидовыми, в то же время внутренне непротиворечивы, объяснил Руди.
Ладно, давайте снова к «ОМ», сказал Лоуренс.
Да! Рассел и Уайтхед. Итак, когда математики начали играть со всякими корнями из минус единицы и кватернионами, это было уже не то, что можно перевести в палки и пробки. И все же они по-прежнему получали верные результаты.
По крайней мере внутренне непротиворечивые, уточнил Руди.
Окей. Значит, математика больше, чем физика пробок.
Так нам представляется, Лоуренс, но возникает вопрос: математика по правде или это только игра в символы? Другими словами: мы открываем Истину или просто балуемся?
Она должна быть по правде, потому что, когда прикладываешь ее к физике, она работает! Я слышал про общую теорию относительности и знаю, что она подтверждена экспериментами.
Большая часть математики не поддается экспериментальной проверке, сказал Руди.
Вся идея в том, чтобы укрепить связь с физикой, произнес Алан.
И при этом не баловаться.
И для этого написаны «ОМ»?
Рассел и Уайтхед свели все математические понятия к таким жутко простым вещам, как множества. Отсюда они перешли к целым числам и так далее.
Но как можно свести к множествам, например, число «p»?
Нельзя, сказал Алан, зато его можно выразить цепочкой цифр: три запятая один четыре один пять девять и так далее.
То есть через целые числа, сказал Руди.
Нечестно! Само «p» не целое!
Но можно вычислить цифры «p», одну за другой, по некой формуле. И можно написать формулу вроде такой!
Алан нацарапал на земле:
Я использовал ряд Лейбница, чтобы утешить нашего друга. Видишь, Лоуренс? Это цепочка символов.
Цепочку символов вижу, нехотя согласился Лоуренс.
Можно идти дальше? Гёдель, всего несколько лет назад, сказал: «Послушайте! Вы согласны, что все в математике просто цепочка символов? Тогда вот!» И показал, что любую цепочку символов вроде этой можно превратить в целые числа.
Как?
Ничего сложного, Лоуренс, простой шифр. Произвольный. Вместо уродливой сигмы напиши число 538 и так далее.
Очень близко к баловству.
Нет, нет! Потому что Гёдель расставил ловушку. В формулу можно подставлять числа, да?
Конечно. Как 2x.
Да. Можно подставить на место х любое число, и формула его удвоит. Но если математическую формулу вроде этой для вычисления числа «p» можно закодировать числом, то ее можно подставить в другую формулу. Формулу в формулу!
И это все?
Нет. Потом он доказал, очень простым способом, что если формулы можно применить к формулам, то мы вправе сказать: «данное утверждение недоказуемо». Что страшно удивило Гильберта и других, ожидавших противоположного результата.
Этого твоего Гильберта ты уже упоминал?
Нет, Лоуренс, он появился в нашем разговоре только сейчас.
Нет, Лоуренс, он появился в нашем разговоре только сейчас.
Кто он?
Человек, который задает трудные вопросы. У него их целый список. Гёдель ответил на один.
А фон Тьюринг на другой, добавил Руди.
Это еще кто?
Это я, сказал Алан. Только Руди шутит. В Тьюринге вообще-то нет приставки «фон».
Сегодня ночью будет. Руди как-то странно взглянул на Алана. Будь Лоуренс повзрослее, он бы определил этот взгляд как «страстный».
Ладно, не томи. На какой вопрос Гильберта ты ответил?
Entscheidungsproblem[5], сказал Руди.
То есть?
Алан объяснил:
Гильберт хотел знать, можно ли в принципе доказать истинность или ложность любого высказывания.
Но Гёдель все изменил, произнес Руди.
Верно. После Гёделя вопрос стал звучать так: «Можно ли определить, доказуемо или нет некое любое конкретное высказывание?» Другими словами, есть ли механический процесс, посредством которого мы в состоянии отсеять доказуемые утверждения от недоказуемых?
«Механический процесс», Алан, это вообще-то метафора
Ладно тебе, Руди. Мы с Лоуренсом не боимся механики.