Теперь мы можем определить ложностное содержание высказывания а, которое мы обозначим А F, как содержание высказывания а при данном истинностном содержании а (то есть пересечении А T между А и T, где T система, в смысле Тарского, истинных высказываний). Иначе говоря, мы можем определить:
А F= а,А T.А F A F L А F ложные истинные ноль; Ар «содержит»
Содержания иногда логически сравнимы, а иногда нет; они образуют частично упорядоченную систему упорядоченную отношением включения, точно так же как высказывания образуют систему, частично упорядоченную отношением следования (entailment). Абсолютные содержания А и В сравнимы, если А В или В А. Для относительных содержаний условия сравнимости сложнее.
Если X есть финитно аксиоматизируемое содержание, или дедуктивная система, то существует высказывание x такое, что X есть содержание x.
Таким образом, если Y финитно аксиоматизируемо, мы сможем написать:
x, Y= x, у.х, Y
х.y минус абсолютное содержание y .
Аналогичные соображения показывают, что а, Bи с, D будут сравнимы, если
(А + В)- В сравнимо с (С + D) - D,дедуктивных систем А + D а.Ь.
Таким образом, сравнимость будет достаточно редкой в этой частично упорядоченной системе. Однако есть способ показать, что эта частично упорядоченная система может быть «в принципе» то есть без противоречия линейно упорядочена. Этим способом является применение формальной теории вероятностей. (Я утверждаю здесь только ее применимость к аксиоматизируемым системам, но не исключено, что ее можно расширить и на неаксиоматизируемые системы; см. также главу 9).
Мы можем написать 'p(x, Y)' или
P(X,Y)х Y ») p(x,Y)
р(а, В) и р(c, D) в принципе совместимы.
р(а, В) р(с, D)или p(а, В) p(с, D),
В результате всего этого мы можем сказать, что истинностные содержания и ложностные содержания могут быть в принципе сравнимы с помощью исчисления вероятностей.
Как я неоднократно показывал, содержание А высказывания а будет тем больше, чем меньше логическая вероятность р(а) или р(А). Потому что чем больше информации несет высказывание, тем меньше будет логическая вероятность того, что оно (как бы случайно) истинно. Поэтому мы можем ввести некоторую «меру» содержания (ее можно использовать в основном топологически, то есть как показатель линейного порядка):
сt(а),
ct(a, b) и ct(a, В),а В. В ct(a,b) = ct(a,В).) ct
сt(а, В)= 1 - р(а, В).ct T(a)
содержание. (Можно показать, что этот интуитивный результат подтверждается мерами содержания ct(N) и ct(E)). Это значит, что теория Эйнштейна потенциально, или виртуально, лучше, поскольку даже до всякой проверки мы можем сказать: если она верна, то ее объяснительная сила больше. Более того, это обстоятельство бросает нам вызов предпринять более разнообразные проверки этой теории. Таким образом, оно предлагает нам новые возможности больше узнать о фактах: без вызова, брошенного нам теорией Эйнштейна, мы никогда бы не измерили (с необходимой высокой точностью) видимое расстояние между звездами, окружающими Солнце, во время затмения или красное смещение света, испускаемого белыми карликами.
Таковы некоторые из преимуществ (логически) более сильной теории, то есть теории с большим содержанием, существующих даже до того, как эта теория была проверена. Они делают ее потенциально лучшей теорией, более вызывающей теорией.
При этом более сильная теория, то есть теория с более богатым содержанием, будет в то же время иметь большую правдоподобность, если только ее ложностное содержание не будет также больше.
Это утверждение образует логическую основу метода науки метода смелых предположений и попыток их опровержения. Теория тем более дерзка, чем больше ее содержание. Такая теория также является и более рискованной: начнем с того, что она с большей вероятностью может оказаться ложной. Мы пытаемся найти ее слабые места, опровергнуть ее. Если нам не удастся опровергнуть ее или если найденные нами опровержения окажутся в то же время опровержениями и более слабой теории, которая была предшественницей более сильной , тогда у нас есть основания заподозрить или предположить, что более сильная теория имеет не больше ложностного содержания, нежели ее более слабая предшественница, и, следовательно, что она имеет большую степень правдоподобности.
9. Правдоподобность и поиск истины
(F): Изменим теперь немного нашу диаграмму, собрав класс истинных высказываний вокруг центра квадрата.
Задача науки, говоря метафорически, покрывать попаданиями как можно большую часть мишени (T), то есть области истинных высказываний, и как можно меньшую часть области ложности (F), выдвигая теории или предположения, которые кажутся нам многообещающими.
Очень важно, чтобы в качестве предположений (conjectures) мы пытались выдвигать истинные теории. Однако истинность не единственное важное свойство наших предположительных теорий, поскольку мы не очень заинтересованы в том, чтобы предлагать тривиальности или тавтологии. «Все столы столы», несомненно, истина более несомненная истина, чем ньютоновская или эйнштейновская теория тяготения, но она интеллектуально не волнует. Вильгельм Буш как-то сочинил то, что я назвал стихами для эпистемологической детворы :