Анализ рис. 1.5б показывает, что при < снос будет минимальным, если скорость лодки относительно берегов направлена по касательной к окружности радиуса Сравнивая изображённые на этом рисунке подобные треугольники, находим минимальный снос лодки min:
min
=
²-²
,
<
.
(3)
Посмотрите ещё раз на рис. 1.5б и сообразите, куда следует направлять нос лодки при переправе, чтобы её снос течением был минимальным.
2. Как опередить автобус?
Человек находится в поле на расстоянии от прямолинейного участка шоссе. Справа от себя он замечает движущийся по шоссе автобус. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать
на дорогу впереди автобуса как можно дальше от него? Скорость автобуса , скорость человека .
Интерес, разумеется, представляет только случай <, так как при > человек может убежать от автобуса на любое расстояние.
Рис. 2.1. Бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути
Чтобы выбежать на шоссе как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если при этом он даже и успеет выбежать на шоссе впереди автобуса, то всё равно расстояние до автобуса не будет максимальным из возможных. В самом деле, если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым небольшим углом α к перпендикуляру (рис. 2.1), то путь человека до шоссе увеличится на величину Δ, но зато он выбежит на дорогу на расстоянии левее точки . Если выбрать угол α достаточно малым, то расстояние можно сделать больше расстояния Δ в любое число раз. Поэтому, несмотря на то что скорость человека меньше скорости автобуса , он окажется на шоссе на большем расстоянии от автобуса, чем в точке .
В каком же направлении следует бежать человеку? Оказывается, что на этот вопрос легко ответить, если перейти в другую систему отсчёта, в которой автобус покоится. Эта система отсчёта движется относительно земли в левую сторону со скоростью . В данной системе неподвижно стоящий на земле человек имеет скорость , направленную вправо (рис. 2.2). Полная скорость человека в новой системе отсчёта равна векторной сумме и скорости человека относительно земли .
Рис. 2.2. Скорость человека в системе отсчёта, где автобус неподвижен
Теперь нетрудно сообразить, что эта задача эквивалентна рассмотренной выше задаче о минимальном сносе лодки при переправе на другой берег реки. Так как в рассматриваемой системе отсчёта автобус неподвижен, то требование выбежать на шоссе как можно дальше от автобуса равносильно требованию минимального сноса лодки при переправе через реку. Поэтому искомое направление вектора определяется таким же построением, как и в предыдущей задаче (рис. 2.3). Траектория человека в системе отсчёта, где автобус неподвижен, - это прямая . Траектория же в системе отсчёта, связанной с землёй, - прямая .
Рис. 2.3. К нахождению направления движения человека
Таким образом, бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути, а под углом α к нему, причём
sin α
=
Из рис. 2.3 видно, что человек сможет прибежать на шоссе раньше автобуса только в том случае, если в начальный момент автобус находится от точки на расстоянии, не меньшем
min
=
²-²
.
Рассмотренная задача может служить примером того, как удачный выбор системы отсчёта позволяет значительно облегчить решение.
3. Радиус кривизны.
Найти радиус кривизны циклоиды в верхней точке её дуги - в точке на рис. 3.1.
Рис.3.1. Циклоида
Нахождение радиуса кривизны заданной кривой - это, разумеется, чисто геометрическая задача. Для её решения достаточно знать уравнение кривой. Поэтому на первый взгляд не ясно, какое отношение к физике имеет поставленный в задаче вопрос.
Однако иногда такие задачи можно очень просто решить, воспользовавшись тем, что радиус кривизны кривой входит в некоторые кинематические формулы. Основная идея заключается в том, что рассматриваемую геометрическую кривую представляют как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и исследуют это движение методами кинематики.
Рис. 3.2. Циклоида как траектория точки обода катящегося колеса
Циклоиду можно рассматривать как траекторию какой-либо точки обода колеса, которое катится без проскальзывания по прямой. На рис. 3.2 показана циклоида, которую «вычерчивает» точка , находившаяся внизу в начальный момент. Точка описывает данную циклоиду независимо от того, катится ли колесо равномерно или с ускорением, важно только, чтобы оно не проскальзывало. Проще всего рассмотреть, разумеется, равномерное качение колеса. Такое качение получается в результате сложения равномерного вращения колеса вокруг оси и равномерного поступательного движения, линейная скорость которого равна произведению угловой скорости на радиус колеса .
Во всех инерциальных системах отсчёта материальная точка имеет одно и то же ускорение. Поэтому находить его можно в любой такой системе отсчёта. Ясно, что ускорение точек обода колеса связано только с его вращением вокруг оси. Поэтому ускорение любой точки обода направлено по радиусу к центру колеса и определяется
выражением
=
²
.
(1)
Значит, и в высшей точке циклоиды ускорение элемента обода колеса равно ²/ и направлено вниз (рис. 3.2).