Но выражать очень большие числа не могли ни египетские, ни греческие ученые, так как не владели идеей позиционной записи чисел. Вавилоняне же, которые владели этой идеей, относились к математике слишком утилитарно, чтобы заниматься такими далекими от практики вопросами, как, например, подсчет числа песчинок на берегу моря. Любопытно, что согласно древнеегипетским "Текстам пирамид" перевозчик в загробном мире экзаменует душу умершего царя и проверяет, умеет ли она считать до десяти. На это он получает стихотворный ответ, в котором по порядку перечисляются все пальцы. Это, несомненно, отголосок гораздо более древнего времени, когда даже умение считать на пальцах казалось чем-то граничащим с магией.
И когда люди уже научились выражать числами количество воинов в армии или хлебов, необходимых для прокормления рабов, которые возводили колоссальные храмы и пирамиды,
они еще не знали чисел, носящих сейчас названия миллиард, триллион, квадрильон и т. д. Чтобы дать представление о громадных числах, они прибегали к сравнениям: "сколько песка и пыли", "как число песку на бреге морском", "как вес горы, взвешенной на весах", "как листьев на деревьях". Но самый лучший тогдашний ученый не смог бы сказать, например, чего больше:
песчинок на морском берегу или листьев в лесу.
Но как ни громадно число Архимеда, оно все же, как и все числа, конечно. Записать весь бесконечный ряд натуральных чисел невозможно даже на ленте, смотанной в клубок размером со всю нашу Метагалактику. Нельзя записать его и на ленте, смотанной во столько подобных клубков, каково число Архимеда.
Тягу к большим числам испытывали и древние обитатели Индии. В их сказаниях рассказывается, например, о битвах, в которых приняло участие 1023 обезьян, об испытаниях Будды, в ходе которых он называл громадные числа, и о многих таких же вещах. Веселой игре с числами не мешало то обстоятельство, что вся Солнечная система по смогла бы вместить столько обезьян в ней находила свое воплощение идея о бесконечности, завораживавшая не только греков, но и индийцев. И Архимед, и индийские математики испытывали восторг от мысли, что создано символическое исчисление, позволяющее на небольшой восковой дощечке или листе папируса выразить столь необъятные числа и выйти за пределы данного наглядным созерцанием.
Загадочные апории.
Одни философы утверждали, что предела делимости вещества нет. Анаксагор говорил, что "в малом не существует наименьшего, но всегда есть еще меньшее. Ибо то, что существует, не может перестать существовать от деления, как бы далеко ни было продолжено последнее". Он считал, что непрерывное не может состоять из дискретных элементов, которые "отделены друг от друга и как бы отрублены друг от друга ударами топора". Надо думать, что собрание отдельных точек представлялось Анаксагору и его сторонникам чем-то вроде кучи пыли, а непрерывное чем-то вроде бронзового или железного меча.
Другая школа, ведшая свое начало от пифагорейцев, полагала, что существуют наименьшие частицы вещества атомы, которые уже далее не делятся в силу своей твердости (атом и значит по-гречески "неделимый"). Эти идеи были развиты Левкиппом и Демокритом. Атомисты ввели понятие и о неделимых частях пространства (амерах ), не имеющих ни частей, ни размеров. Некоторые ученые полагают, что эти идеи восходят к Демокриту, другие приписывают их Эпикуру. Решить этот спор весьма затруднительно, так как до нас дошли лишь скудные отрывки из многочисленных сочинений Демокрита.
Борьба между двумя школами философов обострилась после того, как в середине V в. до н. э. греческий философ Зенон Элейский показал, к каким парадоксальным следствиям ведет при неосторожном обращении
предположение о безграничной делимости пространства и времени. Наиболее известны апории Зенона "Стрела" и "Ахиллес и черепаха". В первой из них доказывалось, что... летящая стрела неподвижна. Ведь, говорил Зенон, стрела, прежде чем попасть в цель, должна пролететь половину пути, а до этого одну четверть пути, еще ранее одну восьмую пути и т. д. А так как пространство безгранично делимо, то процесс деления пополам никогда не окончится. Поэтому стрела никогда не начнет движения и всегда будет неподвижна. В апории "Ахиллес и черепаха" таким же образом доказывалось, что быстроногий Ахиллес, пробегающий в минуту 10 стадиев, никогда не нагонит медлительную черепаху, делающую 1 стадий в минуту.
Выводы Зенона об отсутствии движения в реальном мире опровергались повседневным опытом. Известный философ-киник Диоген, услышав про рассуждения Зенона, просто встал и начал ходить (этому происшествию посвящено известное стихотворение А. С. Пушкина "Движенья нет, сказал мудрец брадатый..."). Тем не менее аргументы Зенона показали, что представления о бесконечности, господствовавшие в тогдашней математике, были весьма наивны. В частности, Зенон впервые показал, что отрезок можно разложить на бесконечное множество частей, каждая из которых имеет ненулевую длину. Если заменить геометрический отрезок конечным отрезком времени, то из его рассуждений вытекало еще более парадоксальное утверждение: за 1 час можно произнести названия всего бесконечного ряда натуральных чисел. Для этого достаточно в течение первого получаса назвать первое число, в течение следующей четверти часа второе число, за следующую восьмую долю часа третье число и т. д. Получалось, что бесконечное можно поместить в конечном бесконочный числовой ряд в конечном промежутке времени.