Τ
=
g
n = 0
g
n
Τ
n
то, ограничиваясь членами второго порядка малости по g, имеем
Im
a
|
Τ
2
|
b
= ½
all c
{
c
|
Τ
0
|
b
c
|
Τ
2
|
a
*
+
c
|
Τ
2
|
b
c
|
Τ
0
|
a
*
+
c
|
Τ
1
|
b
c
|
Τ
1
|
a
*
}
.
(2.9)
Завершим краткий обзор основных вопросов теории поля введением редукционных соотношений. Рассмотрим амплитуду рассеяния, например для процесса a + b a' + b', где a и a' - бозоны, описываемые полями Φa и Φa'. Амплитуду рассеяния можно записать в виде
a',b'
|
S
|
a,b
=
lim
a',b',t'
|
a,b,t
.
t'+
t-
Если через pi обозначить импульс частицы i и использовать формулу (подробный вывод редукционных соотношений содержится, например, в книге Бьёркена и Дрелла [ 40])
i
2(2π)
3/2
a
+
(p
a
)
=
lim
d
x
e
-ipax
0
Φ
+
(x) ,
t-
то посыле некоторых вычислений можно получить редукционные соотношения типа
a',b'
|
S
|
a,b
=
i
d
4
x e
-ipax
(2π)
3/2
×(
2
+ m
2
)
a',b'
|
Φ
+
(x)
|
b
.
a
a
Мы не будем выводить редукционных соотношений или выписывать их полный набор, который можно найти в книге [40], но приведем лишь несколько типичных примеров их использования. Если кроме бозона a "редуцировать" также бозон a', то получается соотношение
a',b'
|
S
|
a,b
=
i
×
-i
d
4
x
d
4
y e
-ipx
e
ipy
(2π)
3/2
(2π)
3/2
×
(
2
+ m
2
)(
2
+ m
2
)
b'
|
TΦ
(y)Φ
+
(x)
|
b
.
x
a
y
a'
a'
В результате применения редукционных соотношений в конечном счете получаем фурье-образ от вакуумного среднего T-произведения четырех операторов полей
0
|
TΦ
(y)Φ
(z)Φ
+
(x)Φ
+
(w)
|
0
.
a'
b'
a
b
Обобщение этой процедуры на случай спинорных или векторных полей производится весьма просто. Например, заменяя скалярную частицу a на фермион с импульсом ра и спином σ и обозначая соответствующее ему поле буквой ψ, получаем
a',b'|S|(p
a
,σ),b=
=
i
(2π)
3/2
d
4
x
a',b'
|
ψ
(x)
|
b
(
+ m
a
)u(p,σ)
e
-ipax
.
Наконец, перейдем к теореме Вика. Выражения типа (2.1б) позволяют вычислить в каждом порядке теории возмущений элементы S-матрицы (или матричные элементы токов и гриновские функции). При этом используется теорема Вика. Рассмотрим хронологическое произведение двух свободных полей TΦ01 (x)1Φ02 (x)2. Поля Φi можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид
Φ
i
(x)
=
1
d
k
(2π)
3/2
2k
0
×
{
e
-ikx
ξ
+
(k,σ)a
+
(k,σ) + e
ikx
ξ
-
(k,σ)a
+
-
(k,σ)
} ,
σ
где σ обозначает спиновое состояние, ξ± - соответствующие волновые функции, а a± и a+± - операторы рождения и уничтожения частиц (+) и античастиц (-). Коммутационные соотношения между операторами (символ [ , ] для фермионов должен интерпретироваться как антикоммутатор) имеют вид
[
a
(k,σ),a
+
(k',σ')
]
±
±
=
2δ
σσ'
k
0
δ(
k
-
k'
) ,
[
a
,a
+
]
+
-
=
0 ;
они могут быть использованы для проверки того, что разность между хронологическим и нормальным произведениями операторов
TΦ
0
(x
)Φ
0
(x
) -
:
Φ
0
(x
)Φ
0
(x
)
:
Φ
0
(x
)Φ
0
(x
)
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
представляет собой c-число, называемое сверткой. Отсюда видно, что свертка совпадает с вакуумным средним от T-произведения (пропагатором):
Φ
0
(x
)Φ
0
(x
)
=
0
|
TΦ
0
(x
)Φ
0
(x
)
|
0
TΦ
0
(x
)Φ
0
(x
)
.
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
0
Повторяя эту процедуру многократно, скажем для выражения (2.1), получим, что хронологическое произведение T0int0int можно записать в виде комбинации сверток, умноженных на нормально упорядоченные произведения операторов. Это утверждение и составляет содержание теоремы Вика. Матричные элементы от этих выражений легко вычисляются, и для каждого члена разложения S - матрицы по теории возмущений получается вполне определенный результат. Фейнмановские правила диаграммной техники автоматически учитывают все упомянутые выше требования и позволяют прямо по соответствующим фейнмановским графикам записать окончательный результат. Правила диаграммной техники для квантовой хромодинамики приведены в приложении Г (см. также § 42, в котором некоторые из них выводятся).
Глава II. КВАНТОВАЯ ХРОМОДИНАМИКА КАК ТЕОРИЯ ПОЛЯ
§ 3. Калибровочная инвариантность
Рассмотрим поля, введенные в гл. I при построении КХД, а именно цветовой триплет кварковых полей q1(х) для кварка каждого аромата и октет глюонов Ва(х). Кварковые поля образуют фундаментальное представление группы SU(3), т.е. если U унитарная унимодулярная матрица размерности 3×3, то поля qj преобразуются по формуле
U
:
q
j
(x)
U
jk
q
k
(x) .
k
Любую матрицу U группы SU(3) можно записать, исходя из восьми генераторов алгебры Ли ta (матрицы ta приведены в приложении В), в виде
U
=
exp
{
-ig
θ
a
t
a
}
,
a
где θа параметры группы, а множитель g введен для удобства. Представляя триплет qj в виде трехкомпонентного столбца, получаем следующую формулу преобразования:
q(x) e-igθata q(x) .
Для полей B рассмотрим присоединенное (размерности 8) представление группы SU(3). Генераторами группы SU(3) на этом представлении будут матрицы Ca, матричные элементы которых имеют вид Cabc = -iƒabc (значения констант ƒabc приведены в приложении В). Поля B преобразуются по формуле
Bμ(x) e-gθaCaBμ
Если параметры группы θa представляют собой константы, не зависящие от пространственно-временной точки x, то лагранжиан квантовой хромодинамики, выписанный в гл. I, оказывается инвариантным по отношению к глобальным преобразованиям группы SU(3)3a), Однако, как мы знаем из квантовой электродинамики (КЭД), эти преобразования полезно обобщить на случай, когда параметры группы θa(x) зависят от пространственно-временной точки x. При этом (локальные) калибровочные преобразования определяются в виде