И наконец, простые числа это числа, которые делятся только на единицу и на само себя. Простые числа вызывают огромный интерес математиков. Одно из их замечательных свойств состоит в том, что они существуют в любой системе счисления, не только в десятичной.
0 двусмысленное число
Перед тем как начать рассказ о натуральных числах, стоит привести некоторые рассуждения о том, как возникло понятие нуля. Во многих древних цивилизациях, в частности вавилонской, египетской и греческой, в культуре майя, были созданы математические или астрономические труды, в которых использовались символы со значением нуля, однако по разным причинам ноль не нашел использования в математике этих культур. Например, в древнеегипетском папирусе Булак 18, датируемом примерно 1700 годом до н. э., 0 выражается знаком nfr. Вавилоняне также приблизились к определению этого непростого понятия: в табличках, возраст которых насчитывает почти 2500 лет, встречается «двойной клин», имеющий значение «пустота», однако, по всей видимости, он не понимался как «ничто» (получаемое, например, вычитанием некоторой величины из себя самой). Поэтому в математическом тексте, найденном в Сузах, автор, не зная, как выразить разность между 20 и 20, заключает: «20 минус 20 результат ты увидишь».
В других случаях дается более подробный комментарий: «Зерно закончилось». Вавилоняне обозначали это непростое понятие и другими способами. В табличке, датируемой примерно 700 годом до н. э. и найденной в древнем месопотамском городе Киш, используется знак «три крючка». В других табличках зафиксирован только один крючок, который в некоторых случаях по форме напоминает современный 0.
Птолемей в своем «Альмагесте», написанном примерно в 130 году н. э., использует символ «пустота» наряду с цифрами или записывает его в конце числа, но понимает этот символ не как цифру, а скорее как примечание. Римляне в расчетах также никак не использовали 0.
А вот в Мезоамерике, напротив, ноль был известен еще до нашей эры. Как указывает один из текстов майя, он использовался уже в 36 году до н. э. Тем не менее формальное определение в рамках математики ноль получил в Индии. Это стало огромным достижением, и мы расскажем о нем подробнее в главе 4.
Майя обладали обширными знаниями математики и в том числе использовали 0.
На иллюстрации фрагмент так называемого Дрезденского кодекса, в котором рассматриваются вопросы астрономии
и приводятся удивительно сложные вычисления.
1
Любопытно, что греки не рассматривали 1 как число они признавали авторитет Евклида, для которого число являлось совокупностью единиц, сама же единица не считалась числом. Для греков 1 было неделимой единицей, служившей основой всех остальных чисел. Причиной этому служило то, что 1 шло после пустоты, «ничего», а не после 0 (греки, подобно соседним народам, не использовали это понятие). Греки обратили внимание, что при прибавлении 1 к четному числу оно становилось нечетным, и наоборот, нечетное число при прибавлении 1 становилось четным. Именно поэтому единица считалась вспомогательным элементом, который при сложении переводил число из категории четных в категорию нечетных и наоборот.
Единица присутствует в первых записях чисел в истории человечества. С единичной отметки начинали числовые ряды люди эпохи палеолита. Считается, что когда человек открыл 1, он открыл самого себя как индивида. В исламе 1 это символ божественного, который также отождествляется со светом. В еврейском алфавите 1 считается мужским числом и обозначает, наряду с первой буквой «алеф», всепроникающую божественную силу, отделяющую свет от тьмы. В Сефер Иецира (Книге Творения) говорится, что все слова и все фигуры происходят от Единого Имени.
ПРОСТОЙ ПУТЬ К ЕДИНИЦЕСуществуют простые арифметические правила, позволяющие прийти от любого числа к 1 единице, неделимой сущности, и это единственное число, обладающее подобным свойством. Достаточно выполнить три простых действия:
1) если число четное, его нужно разделить на 2;
2) если число нечетное, его нужно умножить на 3 и прибавить 1;
3) повторить вышеописанные действия, пока не получится 1.
Возьмем в качестве примера число 17. Так как оно нечетное, его нужно умножить на 3 и прибавить 1. Получим 52. Разделив результат на 2, получим 26. Снова разделим результат на 2 и получим 13. Так как 13 нечетное, умножим его на 3 и прибавим 1, получим 40. Разделим результат на 2 и получим 20, разделив это число на 2, получим 10, при последующем делении на 2 получим 5. Так как 5 нечетное, умножим его на 3 и прибавим 1, получим 16. Так как это число четное, разделим его на 2 и получим 8, которое при делении на 2 дает 4, затем 2, а 2 при делении на 2 дает искомую единицу.
Эти же действия можно выполнить для любого другого числа, и конечным результатом всегда будет единица. Эта гипотеза еще не доказана, но она справедлива убедитесь сами.
Греки обнаружили еще одно особое свойство единицы: это число порождает новые числа при сложении, а не при умножении, и в этом роде оно единственное среди всех натуральных чисел. Уникально оно с точки зрения арифметики: единица совпадает со своим факториалом, квадратом, кубом и всеми остальными степенями. Современная цифра 1, которую используем мы, появилась в Индии, где она пришла на смену первоначальному обозначению горизонтальной черте.