Чем больше диаметр колеса, тем больше (и пропорционально больше) расстояние, пройденное точкой колеса при полном обороте. Иными словами,
длина окружности/диаметр окружности = константа ~ 3,14.
Знак ~ читается как «приближенно равно». На протяжении большей части истории числа π ученые старались сделать это приближение как можно более точным, находя всё новые знаки справа от 3,14.
Математики использовали все свое умение, чтобы рассчитать число π с наиболее возможной точностью, добавляя десятичные с героическими усилиями.
ВЫПРЯМЛЕНИЕ ОКРУЖНОСТИВыпрямление кривой означает измерение ее длины. В простейшей задаче о выпрямлении кривой речь идет об окружности.
При качении окружности длины р по прямой без скольжения окружность описывает один оборот, проходя расстояние, равное диаметру d, π раз. Этот процесс называется выпрямлением окружности. По результатам выпрямления окружности получим p/d = π.
Долгое время считалось, что когда-нибудь будет найдена последняя цифра числа π, но в 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман (18521939) доказал, что это невозможно. Не существует и никогда не будет найдено способа получить «точное» значение π, пользуясь только циркулем и линейкой. Далее в этой книге мы попытаемся объяснить, почему это так.
Сначала число π имело другое название. Хотя к этому символу обращались многие математики, в частности Уильям Отред (15741660), Исаак Барроу (16301677) и Дэвид Грегори (16591708), «официально» его утвердил Уильям Джонс (16751749) в 1706 году в работе Synopsis Palmariorum Matheseos, где он использовал букву π, первую букву греческого слова «περιφε'ρεια» «окружность». Впоследствии великий Леонард Эйлер (17071783), который сначала оперировал символами «с» и «р», остановился на греческой букве π, после чего это обозначение начало медленно, но верно распространяться в научном мире. Однако в XX веке в Египте число «пи» маркировали арабской буквой ta по нескольким причинам, в том числе из-за нежелания пользоваться европейскими обозначениями.
Сегодня символ π используется в математике в основном для обозначения числа π, но он также выполняет и другие задачи. Так, π(x) обычно отмечают функцию, показывающую «количество простых чисел, не превосходящих х». Если говорить о менее серьезных вещах, то этой буквой также обозначают гептамино фигуру, состоящую из семи квадратов, соединенных сторонами, как показано на рисунке:
Многие авторитетные ученые, в том числе и Эйнштейн, считали число π фундаментальным в описании Вселенной. В том или ином виде число π всегда будет всплывать в описании любого явления природы, связанного с окружностями, кругами или вращением, подобно тому как пробка всплывает на поверхность воды. Как и другие константы, π всегда будет сопровождать нас.
С другой стороны, множество людей, которым в той или иной степени интересна нумерология, ищут число π буквально повсюду, как если бы существовала некая теория заговора, связанная с π. Так называемая постоянная тонкой структуры, обозначаемая как ОС, излюбленная жертва поклонников числа π. Нобелевский лауреат Вернер Гейзенберг (19011976) много лет назад предположил, что
1/α = 2433/π
Но Гейзенберг был не единственным, кто искал связь между этими константами. В различных трудах фигурируют и другие подобные соотношения достаточно высокой точности, например:
ПЛАНЕТА МАЛЕНЬКОГО ПРИНЦАСуществует любопытный факт, который далеко не очевиден. Так как для окружности выполняется соотношение
длина/диаметр константа,
то при увеличении знаменателя в некоторое число раз числитель увеличится в это же число раз. Проиллюстрируем это простым примером. В сказке французского писателя и авиатора Антуана де Сент-Экзюпери (19001944) «Маленький принц» главный герой обходит свою планету и чистит вулканы. Допустим, что он обходит всю планету по меридиану. Рост принца ровно 1 метр. Если он пройдет 1000 метров, какое расстояние пройдет его голова? Будем производить все расчеты в метрах. Так как Маленький принц проходит 1000 метров и
длина окружности = 2πr,
очевидно, что
пройденное расстояние = 1000 = 2πr.
Рост принца равен 1 метру. Приняв за С расстояние, пройденное его головой, получим
C = 2π(r + 1).
Вычтем первое равенство из второго. Имеем:
расстояние в метрах, пройденное головой расстояние в метрах, пройденное ногами
С = 1000 2π(r + 1) 2πr = 2π(r + 1 r) = 2π ~ 6,28.
Разница составляет 6,28 м. Любопытно, что радиус планеты никак не влияет на это значение.
Фактически, если мы прибавим к радиусу исходной окружности 1 метр, ее длина увеличится на 6,28 м. Если бы радиус астероида составлял 1000 километров, то дополнительное расстояние, пройденное головой Маленького принца, осталось бы таким же: 6,28 м.
Число π не только соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Удвоенное отношение между площадью круга и площадью вписанного в него квадрата также равно π. Как нам известно из школы, площадь круга радиуса г равняется
S = πr2.
Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, по теореме Пифагора получим
S/Площадь вписанного квадрата = πг2/2r2 = π/2