Кукина Екатерина - Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели стр 5.

3

2

3

3

/*Ноль очень сложное число. Запомните эту мысль, она нам еще, возможно, встретится. Вычислять приближенно квадратные корни? Да легко! Решать в уме квадратные уравнения дайте два. А вот до числа 0 не додумались ни египтяне, ни вавилоняне, ни позже древние греки, ни в средневековых арабских странах, где математика была на очень высоком уровне. Ноль в математике возник немногим ранее комплексных чисел! */

Рисунок 2.5: Реплика глиняной вавилонянской дощечки, выполнена студенткой Кравцовой Настей, слушавшей у меня курс «История математики в контексте истории культур»

Вавилоняне не делили числа. Когда надо было выполнить действие , они искали обратное к b и умножали его на a. Таблицы обратных чисел и таблицы умножения доступны. Когда число не делилось нацело, пользовались его приближенными значениями. Например, это точное значение (здесь я в скобках записала одну вавилонянскую

60-ричную "цифру"). А это приближенное значение, но вполне хорошее приближение (, a . Погрешность менее 1%).

Что еще делали, кроме четырех основных арифметических операций? У вавилонян была таблица квадратных корней, таблица кубических корней, и (внезапно!) таблица корней уравнения x3+x=a. И всякие другие таблицы. Таблицы они вообще очень любили.

Но самое интересное: у вавилонян явно появились первые алгоритмы. Например, алгоритм вычисления корня из любого числа.

Предположим, нам надо вычислить . Если первое приближение корня мы взяли a

1

1

1

2

2

Ясно, что где-то от 1 до 2, возьмем первое приближение . Тогда . И второе приближение числа Что уже очень близко к реальному значению . Третье приближение, полученное таким алгоритмом отличается от реального значения в 6 знаке после запятой! Отличный алгоритм.

Существовал у вавилонян и алгоритм для решения квадратных уравнений (в целом повторяющий известную нам формулу для их вычисления).

А что с геометрией? Геометрия у вавилонян целиком прикладная алгебра. Иногда задачи (вроде бы геометрические) не носили никакого смысла. В них складывали площадь с периметром, диагональ с объемом и т.д.

Никаких доказательств или построений не было. Только приближенные вычисления. Однако же приближения были с высокой точностью. Поэтому несмотря на то, что правильных формул вавилоняне не знали, здания они строили крепкие (в том числе и знаменитые зиккураты, представляющие собой несколько усеченных пирамид, взгроможденных одна на другую).

Площадь круга считали как 3r

2

Объемы призмы, цилиндра вычисляли умножая площадь основания на высоту (правильная формула). А вот формулу для вычисления, например, объема усеченной пирамиды использовали неправильную (полусумма площадей оснований на высоту).

Есть свидетельства того, что вавилоняне знали тот факт, что численно сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (т.е. теорему Пифагора). Но это не точно.

Итак, никаких доказательств в те древние времена еще не было. Никаких задач на построение тоже не было и в помине. Вавилоняне и египтяне занимались математикой практически параллельно, нет никаких свидетельств, что в те эпохи они каким-либо образом обменивались знаниями (обмен знаний начался позже, в эпоху господства Древней Греции). Доказательства существования вавилонянской математики несколько старше (от 2,5 тысяч лет до нашей эры), египетской чуть моложе (от 2 тысяч лет до н.э.). В решении разного рода вычислительных задач вавилоняне были куда круче египтян, но тем надо отдать должное: они придумали такую странную систему вычислений, что хоть стой, хоть падай. Однако, в геометрии точнее были египтяне.

Какие книги можно еще почитать.

К главе 2 про Древний Египет и Месопотамию.

[7]

Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.  М.: Гос.изд-во физ.-мат.лит-ры, 1969.

/*Самая классная книга по истории математики античного периода. Сам автор математик. В книге много математических подробностей. Как раз очень подходящая книга для всех, кому не хватает математических подробностей у меня.*/

[8]

В. Прасолов, История математики. Часть 1.  М.: МЦНМО, 2018.

/*Очень современная книга, которая пишется до сих пор. Это настоящий учебник, но Виктор Васильевич в принципе не умеет писать плохо и скучно. Вышла только первая часть (по-моему), но вообще у автора планов громадье, и книга публикуется в сети по мере ее написания.*/

[9]

О. Нейгебауэр, Точные науки в древности.  М., Наука, 1968.

/*Хорошая книга, но намного более устаревшая, чем Ван дер Варден. Мне пришлось ее прочитать, когда я в свое время готовилась к курсу лекций, но, по-моему, [7] хватает.*/

[10]

под ред. А. П. Юшкевича, «История математики с древнейших времен до начала XIX столетия» в 3 томах, т.1.  М.:Наука, 1970.

/*Учебник по истории математики. В нем про есть про все подряд, но и про Древний Египет и Междуречье тоже.*/

Лекция 3.

Древняя Греция

Глава, в которой математика, наконец, появляется.

Рисунок 3.1: Фреска "Афинская Школа" Рафаэля Санти. Ватикан.

От математиков Египта и Междуречья до нас дошли только примеры решенных задач. В Древней Греции, наконец, мы видим появление математической науки. В чем разница? В математике появляются доказательства. Пока в математике нет доказательств, наукой она не считалась. Ремеслом, занятием, вспомогательным инструментом да, может быть, но не наукой. Этот важнейший перелом, скачок на новый уровень, когда количество накопленных математических знаний (зачастую противоречивых) переходит в качество, случился приблизительно на рубеже VI и V веков до нашей эры.

3.1

Фалес. Начало.

Рисунок 3.2: Фалес. 624546 гг. до н.э.

Кроме того, надо обязательно отметить и такой факт. В Египте и Месопотамии математика развивалась крайне медленно. Годами, да что там годами, столетиями, в математике ничего не происходило.

Чтобы изобрести цифру 0 (даже еще не число, а только лишь цифру обозначающую пропущенный разряд) у древних вавилонян ушло более тысячи лет! Свитки переписывались без изменений. А ведь это были учебники. И новые писцы учились по учебникам 1000-летней давности.

/*Сейчас в высших учебных заведениях России есть стандарт. Все учебники гуманитарных дисциплин должны быть не старше 5 лет. Вся учебная база естественно-научных дисциплин не старше 10. Нельзя учиться по старым изданиям задачника Демидовича, нужно обязательно брать новые. В связи с этим в университете, где я работала, был забавный казус на факультете теологии. Весь "Ветхий завет" в библиотеке устарел! И включать его в учебную программу было нельзя.

Обратите внимание, что как нельзя использовать учебники старые, так нельзя использовать и слишком новые. Используемый учебник обязательно уже должен быть выпущен и одобрен УМО. Конечно же, я при написании этой книги, подобными ограничениями не руководствовалась и поэтому с легкостью вам рекомендую к прочтению еще не дописанную и не выпущенную книжку [64].*/

А в Греции на протяжении примерно 300 лет с момента возникновения математики развитие ее идет взрывообразно. Очень быстро. В 6 веке до н.э. она появляется. А в 3 веке до н.э. уже Евклид пишет свои "Начала"  библию всех математиков, венец творения древних греков. В которой собрано безумное количество задач, теорем, алгоритмов по самым разным темам (мы на «Начала» посмотрим более пристально в главе 6). В этих самых «Началах» многие задачки очень нетривиальные! Математика от несуществования до очень высокого уровня, с доказательствами достаточной степени строгости, со многими приемами и методами, используемыми до сих пор, развилась в Древней Греции за 300 лет.

Как говорил про это Платон: "Все, что эллины переняли у варваров, они довели до совершенства".