Atbilde ir vienkārša: vienmēr izmantojiet atsauces numuru.
Apgūstot šeit aprakstītās metodes, jūs atklāsiet, ka jūs automātiski izmantojat atsauces numuru pat tad, ja aprēķinu laikā to vairs nepierakstāt.
Metožu kombinācija
Apskatīsim šādu piemēru:
Tas var radīt zināmas grūtības, ja mēs nezinām, cik daudz ir 8 x 7. Mēs varam uzzīmēt vēl pāris apļus zem pirmajiem, lai aprēķinātu reizinājumu 8 x 7. Piemērs tagad izskatās šādi:
Atņemiet 8 no 93, atņemot 10 un pievienojot 2. 93 mīnus 10 ir vienāds ar 83, plus 2 mēs iegūstam 85. Reiziniet ar atsauces skaitli 100 un iegūstiet starprezultātu: 8500. Lai reizinātu 8 ar 7, izmantojiet apakšējo skaitļu rindu apļos, tas ir 2 un 3.
7 2 = 5 un 2 x 3 = 6
Atbilde ir 56. Piemēra risinājums tagad izskatās šādi:
Varat arī, piemēram, reizināt 86 ar 87.
Varat izmantot tikko iemācīto metodi, lai reizinātu skaitļus no 10 līdz 20.
To visu var izdarīt savā galvā pēc nelielas prakses.
Izmēģiniet tālāk norādītos piemērus.
a) 92 x 92 = ___; b) 91 x 91 = ___; c) 91 x 92 = ___; d) 88 x 85 = ___; e) 86 x 86 = ___; e) 87 x 87 = ___
Atbildes:
a) 8464; b) 8281; c) 8372; d) 7480; e) 7396; e) 7569
Šajā grāmatā aprakstīto metožu izmantošana kopā paver patiesi neierobežotas skaitļošanas iespējas. Eksperimentējiet paši.
3. nodaļa Skaitļu reizināšana virs un zem atsauces numura
Līdz šim mēs esam reizinājuši skaitļus, kas ir vai nu virs vai zem atsauces skaitļa. Kā reizināt skaitļus, no kuriem viens atrodas virs atsauces, bet otrs zemāk?
Apskatīsim, kā rīkoties, kā piemēru izmantojot produktu 96 x 135. Mēs izmantosim 100 kā atsauces numuru:
98 ir mazāks par atsauces skaitli 100, tāpēc zem tā novelkam apli. Cik mazāk? Ar 2 tas nozīmē, ka aplī ierakstām skaitli 2. 135 ir lielāks par 100, tāpēc mēs novelkam apli virs 135. Cik vēl? Tāpēc pie 35 mēs aplī ievadām 35.
135 ir vienāds ar 100 plus 35, tāpēc mēs ievietojam plus zīmi 35 priekšā. 98 ir 100 mīnus 2, kas nozīmē, ka mums ir jāievieto mīnus zīme pirms 2 aplī.
Tagad mēs aprēķinām šķērsām. Mēs ņemam vai nu 98 plus 35, vai 135 mīnus 2. 135 mīnus 2 ir vienāds ar 133. Aiz vienādības zīmes ierakstiet 133. Tagad sareizināsim 133 ar atsauces skaitli 100. 133 ar 100 ir vienāds ar 13300. (Lai reizinātu jebkuru skaitli ar 100, vienkārši pievienojiet divas nulles pa labi no tā.) Piemēra risinājums tagad izskatās šādi:
Tagad reizināsim skaitļus apļos. 2 ar 35 dod 70. Tiesa, tā nav pilnīgi taisnība. Faktiski mums ir jāreizina 35 un mīnus 2. Atbilde attiecīgi būs mīnus 70. Tagad piemēra risinājums izskatās šādi:
Ātrās atņemšanas metode
Paņemsim pauzi no piemēra risināšanas uz brīdi un redzēsim, kāds ir īsākais veids, kā atrast divu skaitļu starpību. Kāds ir vienkāršākais veids, kā no skaitļa atņemt 70? Ļaujiet man uzdot jautājumu citā veidā: kāds ir vienkāršākais veids, kā garīgi atņemt 9 no 56?
56 9 =
Esmu pārliecināts, ka jūs zināt pareizo atbildi, bet kā jūs to ieguvāt? Daži cilvēki vispirms atņem 6 no 56, lai iegūtu 50, un pēc tam no 9 atņem atlikušo 3, lai iegūtu 47.
Daži cilvēki atņemtu 10 no 56 un iegūtu 46. Tad viņi pievienoja 1 atbildei, jo liekais tika noņemts (10 = 9 +1). Rezultāts atkal būtu 47.
Kāds cits šo problēmu atrisinātu ar kolonnu uz papīra. Tajā pašā laikā viņam prātā būtu jāpārnes un jāieņem kategorijas. Tas, iespējams, ir garākais risinājums. Neaizmirstiet, ka:
Vienkāršākais veids, kā atrisināt problēmu, ir ātrākais un kļūdīgākais.
Lielākajai daļai cilvēku vienkāršākais veids, kā no skaitļa atņemt 9, ir vispirms atņemt 10 un pēc tam pievienot 1. Vienkāršākais veids, kā atņemt 8, ir atņemt 10 un pēc tam pievienot 2. Lai atņemtu 7, atņem 10 un pēc tam pievieno 3. atbilde. Šeit ir vēl daži «vienkāršāki» veidi:
Kāds ir vienkāršākais veids, kā no skaitļa atņemt 90? Atņemiet no tā 100 un pievienojiet 10.
Kāds ir vienkāršākais veids, kā no skaitļa atņemt 80? Atņemiet no tā 100 un pievienojiet 20.
Kāds ir vienkāršākais veids, kā no skaitļa atņemt 70? Atņemiet no tā 100 un pievienojiet 30.
Atgriežoties pie mūsu piemēra, kā no 13 300 atņemt 70? Vispirms atņemiet 100 un pēc tam pievienojiet 30. Vienkārši, vai ne? Pamēģināsim vēlreiz. 13300 mīnus 100. 13200. Plus 30. 13230. Šādi izskatās pilnībā atrisinātais piemērs:
Nedaudz praktizējot, jūs varēsiet atrisināt līdzīgus piemērus savā galvā. Izmēģiniet tālāk norādītos piemērus.
a) 98 x 145 = ___; b) 97 x 125 = ___; c) 95 x 120 = ___; d) 96 x 125 = ___; e) 98 x 146 = ___;
e) 9 x 15 = ___; g) 8 x 12 = ___; 3) 7 x 12 = ___
Atbildes:
a) 14210; b) 12125; c) 11400; d) 12000; e) 14308; f) 135; g) 96; h) 84
Skaitļu reizinājums apļos
Noteikums, saskaņā ar kuru tiek atrasts skaitļu reizinājums apļos, ir:
Ja abi apļi atrodas virs vai zem faktoriem, tad to reizinājumu pievienojam starprezultātam. Kad viens no apļiem atrodas virs faktoriem, bet otrs zem tiem, no starprezultāta atņemam apļos esošo skaitļu reizinājumu.
Matemātiskā izteiksmē, reizinot divus pozitīvus (plus) skaitļus, atbildē iegūstam pozitīvu (plus) skaitli. Reizinot divus negatīvus (mīnus) skaitļus, mēs iegūstam arī pozitīvu (plus) skaitli. Reizinot pozitīvu (plus) skaitli ar negatīvu (mīnusu), mēs iegūstam negatīvu (mīnus) skaitli.
Vai mūsu metode ir piemērojama produktam 8 x 45?
Mēģināsim pārbaudīt. Ņemsim par atsauci skaitli 10. 8 ir par 2 mazāks par 10, bet 45 ir par 35 vairāk.
No 45 atņem 2 vai pievieno 35 līdz 8. No 45 mīnus 2 iegūst 43; reizinot ar atsauces skaitli 10, iegūstam 430. Mīnus 2, reizinot ar 35, iegūst 70. Lai no 430 atņemtu 70, vispirms atņemiet 100, kas iegūst 330, un pievienojiet 30, iegūstot 360.
Vai tas nozīmē, ka jums vispār nav jāapgūst reizināšanas tabula? Nē, es tikai ierosinu citu veidu, kā to atcerēties. Kad esat nostrādājis desmit vai vairāk reizes, ka 7 pār 8 ir vienāds ar 56 un 13 virs 14 ir vienāds ar 182, jums tas vairs nebūs jādara: atbilde paliks jūsu atmiņā. Tas ir daudz produktīvāks veids nekā vienkārša pieblīvēšana.
Mēs joprojām neesam pabeiguši ar reizināšanu, bet paņemsim pārtraukumu un pavadīsim laiku, lai nostiprinātu to, ko esam iemācījušies līdz šim. Ja dažu uzdevumu risināšana jums joprojām ir sarežģīta, neuztraucieties: mums ir vēl daudz piemēru.
Nākamajā nodaļā mēs apskatīsim vienkāršu metodi saņemto atbilžu pārbaudei.
4. nodaļa Atbilžu pārbaude: pirmā daļa
Vai vēlaties pareizi atrisināt katru uzdevumu jebkurā skolas pārbaudījumā? Vai vēlaties iegūt tādas personas reputāciju, kas nekad nekļūdās aprēķinos? Ja tā, es iemācīšu jums pamanīt un izlabot kļūdu, pirms kāds pamanīs jūsu kļūdu.
Es saviem skolēniem bieži saku, ka matemātikā nepietiek ar atbildes izdomāšanu; problēma nav atrisināta, kamēr neesat pārbaudījis saņemto atbildi.
Es neizstrādāju atbilžu pārbaudes metodi, ko grasos jums piedāvāt. Matemātiķi par to ir zinājuši, iespējams, tūkstoš gadus, bet fakts ir tāds, ka vairumā valstu tas nez kāpēc nebija iekļauts skolu programmā.
Bērnībā es ļoti daudz kļūdījos aprēķinos tīri aiz neuzmanības. Es zināju, kā risināt problēmas un darīju visu pareizi. Bet atbilde joprojām izrādījās nepareiza. Es vai nu aizmirsu pārnest pakāpi, vai arī neuzmanības dēļ pierakstīju nepareizus skaitļus, un Dievs zina, kādēļ es pieļāvu kaitinošas kļūdas.
Skolotāji un vecāki man pastāvīgi atgādināja, ka man vienmēr ir jāpārbauda savi lēmumi. Bet vienīgais veids, kā es zinu, kā to izdarīt, ir vēlreiz atrisināt problēmu. Tomēr, ja atbilde bija atšķirīga, kā es varu zināt, kurā gadījumā tā ir pareiza? Varbūt es pirmo reizi problēmu atrisināju pareizi, bet, risinot vēlreiz, kļūdījos? Tāpēc mums problēma bija jāatrisina trešo reizi. Ja divas no trim atbildēm saskanēja, tad, kā es argumentēju, šī, iespējams, bija pareizā atbilde. Ko darīt, ja es vienkārši pieļautu vienu un to pašu kļūdu divas reizes? Man ieteica problēmu atrisināt divos dažādos veidos. Šis bija labs padoms. Tomēr testos nevienam netiek dots laiks vienu un to pašu problēmu atrisināt trīs reizes. Ja kāds tajā laikā man būtu iemācījis to, ko es jums mācīšu, es droši vien būtu pazīstams kā matemātikas ģēnijs.