Правила деления чисел сводятся к сдвигу разрядов числа и вычитанию. Вычитание сводится к сложению чисел, одно из которых представлено в дополнительном коде.
При выполнении действий двоичной арифметики возможны ситуации, приводящие к неточности результата или ошибке. Так, при использовании целочисленного представления возможна ситуация потери старших разрядов результата (в случае превышения разрядов сетки). Еще одна парадоксальная ошибка «целочисленной арифметики» при использовании знакового формата при сложении или умножении положительных чисел возможно получение результата, неверного по знаку (с единицей в знаковом бите) и модулю (без учета знакового бита). Для форматов с плавающей точкой возможна другая опасность: выход за границу допустимого диапазона значений. Это может произойти, если порядок результата оказывается больше максимального возможного значения. Обычно в такой ситуации выполнение программы прерывается по ошибке «арифметическое переполнение». Схожая ситуация, когда результат меньше минимально возможного приведет к исчезновению числа (превращению в нуль, что опасно, например, при делении).
Булевы функции. Сложение по модулю два
Говоря об арифметических операциях с двоичными числами нельзя не сказать о логических операциях с ними. В XIX веке английский математик Джордж Буль разработал основные положения алгебры логики, ныне используемые для формального описания узлов ЭВМ. В алгебре логики (булевой алгебре) различают двоичные переменные и булевы функции.
Двоичные переменные могут принимать два значения: 0 и 1. Они обозначаются символами x
1
2
3
Булевы функции зависят от двоичных переменных. Они, как и аргументы, могут принимать лишь два значения: 0 или 1, и обозначаются как f (x
1
2
3
таблицами истинности,К элементарным логическим функциям относятся:
Логическое отрицание инверсия (логическая функция НЕ). Логическим отрицанием переменной x называется такая булева функция f
1
1
1
Логическое умножение конъюнкция (логическая функция И). Конъюнкция двух (или любого другого числа) переменных x
1
2
Логическое сложение дизъюнкция (логическая функция ИЛИ). Дизъюнкция двух (или любого другого числа) переменных x
1
2
Элементарные логические функции НЕ, И, ИЛИ являются основными логическими функциями.
Весьма значимой также является еще одна булева функция: сложение по модулю 2
Сложение по модулю 2 строгая дизъюнкция (исключающее ИЛИ). Эта функция переменных x
1
2
Приведем пример суммирования по модулю 2 двух двоичных чисел:
Вопросы для самопроверки
Дайте определение системы счисления.
Что называется основанием позиционной системы счисления?
Число записано как 677,42 без указания основания системы счисления. В каких системах счисления могло быть записано это число?
Какое число будет следующим за 10110012?
Какое число будет предшествовать числу 1008?
Перевести число 208.12 из десятичной системы счисления в двоичную.
Перевести число 242 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную.
Перевести число 1001.0012 из двоичной системы счисления в десятичную.
Перевести число 10F.6A16 из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.
Перевести число 10101.012 из двоичной системы счисления в десятичную.
Представьте в стандартном виде числа: 12, 34; 0,0987; 100,1.
Почему для хранения чисел в компьютере используют форматы целых и вещественных чисел?
Запишите в экспоненциальном виде числа: 456, 789; 65,321; 0,753.
К каким операциям сводят все арифметические действия в двоичной арифметике?
Какие элементарные логические функции являются базовыми для построения логических выражений?
Переведите в обратный код число 1000000
2
Переведите в дополнительный код число 1000001
2
Выполните операцию двоичного вычитания с использованием дополнительного кода (в двухбайтовом формате) 110101110110
2
2
Какие элементарные логические (Булевские) функции Вы можете назвать?
Выполните операцию двоичного сложения: 1110110 +10101010.
Выполните операцию двоичного сложения по модулю 2:
11010110 и 1010111.
Выполните операцию двоичного вычитания с использованием дополнительного кода 11000001 1011101.
Глава 3
Представление информации в компьютере
Аналоговые и дискретные сигналы. Дискретное представление информации.
Информационное взаимодействие в природе носит волновой характер, так звук это акустические (механические) волны, свет электромагнитные волны, люди видят предметы в отраженном от них свете. Потребность в сохранении и передаче информации привела к возникновению письменности преобразовании звуковой волны в символьные коды буквы.
Изобретение фонографа, а потом и магнитофона дало возможность сохранять и воспроизводить звук. Люди научились записывать и воспроизводить видеосигналы.
Появление компьютерной техники и использование универсальной цифровой системы кодирования открыло перед человечеством новые широкие возможности записи, сохранения и воспроизведения информации.
Информация в компьютере может быть представлена с помощью сигналов двух видов.
Аналоговые сигналы, величина которых сохраняется непрерывно на каком-то отрезке времени, аналогичные порождающим процессам.
Дискретные сигналы, величина которых сохраняется в виде значений в определенные моменты времени и принимающие фиксированные значения уровня.
Непрерывные сообщения можно преобразовывать в дискретные, применяя дискретизацию и квантование по уровню.
Дискретизация (англ. discretisation) устранение непрерывности (пространственной или по времени) волновых информационных сигналов.
Квантование (англ. quantization) преобразование диапазона всех возможных значений входного сигнала в конечное число выходных элементов
Передачу практически любых сообщений можно свести к передаче их отсчетов, следующих друг за другом с интервалом дискретизации t.
Для абсолютно точного представления информации в общем случае необходимо бесконечное число разрядов. На практике же в этом нет необходимости, так как получатели информации (органы чувств человека, механизмы и т.д.) обладают конечной разрешающей способностью, то есть не замечают незначительной разницы между абсолютно точным и приближенным значениями воспроизводимого.
С учетом этого можно подвергнуть дискретные отсчеты квантованию. Интервал между соседними разрешенными уровнями называется шагом квантования. На практике чаще применяется равномерное квантование, при котором шаг квантования постоянный. На рис.3.1 представлена схема дискретизации и квантования звукового сигнала, где ΔА шаг квантования устанавливает сохраняемые уровни значения амплитуды звуковой волны; Δt шаг дискретизации звука (интервал снятия значений амплитуды звуковой волны по времени).
Рис.3.1. Дискретизация и квантование акустического сигнала
На рис.3.2 показана схема пространственной дискретизации. Изображение (слева) разбивается на геометрические элементы с шагом дискретизации Δl, в пределах которого значение цветовой характеристики может считаться неизменным. Результат применения шкалы квантования цвета по уровням градации с шагом ΔС показан справа на рисунке.
Рис. 3.2. Схема пространственной дискретизации
Достоинством дискретного представления информации является, в первую очередь, возможность автоматизации передачи и обработки сигналов с помощью компьютеров. Современный персональный компьютер позволяет работать с разнообразными данными: числами, символьными данными (текстом), графическими данными, звуковыми данными, и все данные в компьютере представлены в двоичном цифровом коде.