Следующее появление логистической функции (без использования этого названия) было связано с количественным выражением прогресса аутокаталитических реакций в химии. Если катализ обозначает повышающуюся скорость химической реакции, что вызвано присутствием дополнительного элемента (в частности, какого-либо тяжелого металла) или сложного вещества (часто в ничтожных количествах), то аутокатализ означает реакцию, ускоряющуюся за счет собственных результатов. Аутокаталитические процессы реакции, демонстрирующие ускорение темпов роста как функцию от времени, за которым следует насыщение, необходимы для роста и поддержания живых систем, и без них абиотические химические факторы не смогли бы привести к репродукции, обмену веществ и эволюции (Plasson et al., 2011; Virgo et al., 2014).
После того как Вильгельм Оствальд (18531932, ведущий химик времен до Первой мировой войны) представил данную концепцию в 1890 году (Ostwald, 1890), стало быстро понятно, что процесс развивается в соответствии с логистической функцией: концентрация одного реагента повышается по сравнению с начальным уровнем, сначала медленно, потом быстрее, но затем, с учетом ограниченного количества другого реагента, процесс замедляется, а концентрация второго реагента постепенно уменьшается до нуля. В 1908 году Брейлсфорд Робертсон (18841930), австралийский физиолог из Калифорнийского университета, отметил, что, если сравнить кривую мономолекулярной аутокаталитической реакции с кривой роста массы тела самцов белых крыс, «схожесть между кривой роста и кривой аутокаталитической реакции сразу становится очевидной» (рис. 1.12) но сравнение кривой аутокаталитической мономолекулярной реакции с кривой роста массы тела мужчины показало, что вторая из этих траекторий имеет две совмещенные кривые (Robertson, 1908, 586).
Рис 1.12. Сравнение Робертсоном (Robertson, 1908) прогресса аутокаталитической реакции и увеличения массы тела самцов белой крысы
Обе кривые являются сигмоидальными, но Робертсон не упомянул Ферхюльста. Три года спустя Маккендрик и Кесава Паи (McKendrick and Kesava Pai, 1911) использовали эту функцию, снова не называя имени Ферхюльста, для изображения роста микроорганизмов, а в 1919 году Рид и Холланд (Reed and Holland, 1919) сослались на Робертсона (Robertson, 1908), но не использовали термин «логистическая» в своей кривой роста подсолнечника. Этот пример роста растений позже стал широко цитироваться в биологической литературе, посвященной теме роста.
Наблюдаемый рост в высоту подсолнечника (Helianthus) в период между посадкой и 84-м днем очень близко соответствует логистической функции с четырьмя параметрами, где точка перегиба приходится на 37-й день (рис. 1.13).
В 1920 году логистическая функция снова появилась в демографии, когда Реймонд Перл и Лоуэлл Рид, профессора Университета Джонса Хопкинса, опубликовали работу, посвященную росту населения США (Pearl and Reed, 1920), но только два года спустя они кратко признали первенство Ферхюльста (Pearl and Reed, 1922). Во многом как и Ферхюльст в середине 1840-х годов, Перл и Рид использовали логистическую функцию, чтобы вычислить максимальный размер населения США, который сможет прокормить сельское хозяйство страны (Pearl and Reed, 1920, 285):
Верхняя асимптота имеет значение приблизительно 197 274 000. Это означает, что максимальное население, которое будут иметь континентальные США при текущем ограничении площади, будет приблизительно вдвое выше нынешнего. Мы боимся, что некоторые осудят всю теорию, потому что это число недостаточно внушительно. Рассчитать население с помощью геометрической прогрессии (и большинство авторов работ на тему населения склоняются к этому) или с помощью параболы или другой чисто эмпирической кривой и прийти к таким изумляющим цифрам настолько легко, что спокойно осмыслить реальную вероятность этого будет крайне сложно.
Рис. 1.13. Логистический рост (точка перегиба на 37,1-й день, асимптота на уровне 292,9 см) растения подсолнечника, изображенный Ридом и Холландом (Reed and Holland, 1919)
Как в случае с максимальными цифрами населения Ферхюльста для Бельгии и Франции, Перл и Рид также недооценили приемлемый максимум населения США. К 2018 году оно превысило 325 млн, что почти на 65 % больше их расчетов максимальной предельной нагрузки (рис. 1.14) даже с учетом того, что 40 % урожая кукурузы, крупнейшей сельскохозяйственной культуры США, перерабатывают в этиловый спирт и страна является крупнейшим в мире экспортером продуктов питания. Но Перл не сомневался в прогностической силе своего уравнения: в 1924 году он «скромно» сравнил кривую с законом движения планет Кеплера и законом о газах Бойля (Pearl, 1924, 585).
Рис. 1.14. Прогноз роста населения США на основе логистической кривой (точка перегиба в 1919 году, асимптота на уровне 197,3 млн), согласованный с переписью населения, проводившейся раз в десять лет в период между 1790 и 1910 годами (Pearl and Reed, 1920)
Применение функции логистического роста начало распространяться. Робертсон использовал информацию о росте молочных коров, домашней птицы, лягушек, однолетних растений и фруктовых деревьев в своем объемном исследовании под названием The Chemical Basis of Growth and Senescence («Химические основы роста и старения») (Robertson, 1923). Год спустя Спиллман и Ланг (Spillman and Lang, 1924) подробно изложили Закон убывающего плодородия, приведя множество количественных описаний ограниченных темпов роста. Рид и Берксон (Reed and Berkson, 1929) применили логистическую функцию к нескольким бимолекулярным реакциям и протеолизу гелеобразования с помощью панкреатина, а Блисс (Bliss, 1935) использовал ее для расчета кривой зависимости смертности вредителей от дозировки пестицидов. И в течение двадцати лет до Второй мировой войны Перл и его коллеги применяли логистическую кривую «к популяциям почти всех живых существ от плодовых мушек до населения французских колоний в Северной Африке, а также росту дынь канталуп» (Cramer, 2003, 6).
В 1945 году Харт опубликовал всестороннее исследование логистических социальных тенденций со множеством примеров, поделенных на серии, отражающие рост конкретных социальных единиц (населения, городов, урожая, производства и потребления промышленных продуктов, выдачи патентов на изобретения, длины железных дорог), распространение конкретных культурных явлений (охват детей школьным образованием, владение автомобилями, социальные и гражданские движения) и так называемые индексы социальной эффективности, включая продолжительность жизни, рекорды скорости и доход на душу населения (Hart, 1945). В течение двадцати лет после окончания Второй мировой войны наблюдался быстрый рост населения и экономический рост, вызванный расширением технических возможностей. В тот период преобладали многочисленные примеры экспоненциального роста, но с ростом экологического сознания в конце 1960-х и 1970-х логистическая функция снова получила популярность. Неудивительно, что существует множество публикаций о том, как описать данные с помощью логистической кривой (Cavallini, 1993; Meyer et al., 1999; Arnold, 2002; Kahm et al., 2010; Conder, 2016).
Существует еще одна довольно распространенная модель роста кривая Гомпертца, выведенная еще раньше функции Ферхюльста. Изначально модель была предложена в 1825 году Бенджамином Гомпертцем (17791865), британским математиком, для оценки смертности людей (Gompertz, 1825). В ней, как и в логистической функции, имеются три константы, асимптота и фиксированная степень асимметрии, но, как уже отмечалось, логистическая функция имеет точку перегиба точно посередине между двумя асимптотами, и ее кривая радиально симметрична по отношению к этой точке перегиба. В отличие от нее функция Гомпертца дает асимметричную кривую с точкой перегиба на уровне 36,78 (е1) асимптотического максимума и, следовательно, асимметрична (Tjørve and Tjørve, 2017). Эта кривая подходит лучше, чем логистическая, для моделирования процессов сигмоидального роста, которые замедляются после достижения приблизительно трети от своего максимального значения (Vieira and Hoffmann, 1977).