Как раз в шестом-седьмом проходит рубеж, когда ребёнок перестаёт верить на слово. Впрочем у всех по-разному. Я, например, прекрасно помню, как склонившись над постелькой трёхлетнего шалуна Ника, пугал его волком, и как он сказал: «Никакого волка нет!» Пришлось вести в зоопарк и, когда мы пришли туда, помню своё маленькое торжество, когда сказал, подводя сынишку к клетке с волком: «А это кто?» Правда, потом получил сдачи под Новый Год: «Деда Мороза нет. Да. Предположим. А кто же тогда окна по ночам разрисовывает, по-вашему?»
Но давайте разберём вышеприведенные аргументы серьёзно.
«И так ясно». Ничего не ясно! Очевидное очень часто бывает неверным. Существует масса зрительных иллюзий, и, наверно, очень полезно на уроке математики ознакомить ребят с лучшими. Чтобы не зазнавались!
«Но ведь можно измерить!» Нет. Измерить можно далеко не всегда. А если и можно, то не во всех вариантах утверждения, так как их бесконечность. Кроме того, любой измерительный прибор имеет цену деления, точность измерения. Измерьте, к примеру, сумму внутренних углов треугольника: разница теоретически может доходить до 6 градусов, и чаще всего вы получите 178
о
о
0
о
Вопреки возможным протестам учителя физики, скажу: измерениями НИЧЕГО доказать нельзя (и, следовательно, опровергнуть тоже нельзя). Доказательство вообще устроено ПО-ДРУГОМУ. Доказывая, мы осуществляем вывод (строго говоря, согласно правилам вывода) из аксиом последовательности утверждений (лемм, теорем), последней из которых будет доказываемое. Понять, что происходит, когда человек что-нибудь доказывает, очень важно: это знание о сути человека. Ведь он не даром SAPIENS, то есть разумный, то есть ДОКАЗЫВАЮЩИЙ И ТРЕБУЮЩИЙ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ.
Вот одна из задач, которая могла бы быть продемонстрирована в этот период как нечто весьма поучительное. Рассмотрим замкнутый контур. Внутри бесконечное множество точек. Возьмём среди них миллион. Одной линией можно «перечеркнуть» контур, разделив его на две области, в каждой из которых находится некоторое число точек. Я утверждаю: всегда прямую линию можно провести так, что число точек будет делиться поровну, по 500 000 в каждой области. Всегда.
Нарисовать миллион точек невозможно. Если рисовать даже по одной точке в секунду, то потребуется миллион секунд, то есть 16667 минут, то есть 278 часов, то есть 12 суток непрерывного тыканья. Нет желающих? Очень хорошо.
Значит: это утверждение ТРЕБУЕТСЯ ДОКАЗАТЬ. Мало ли, что это утверждаю я а вдруг ошибаюсь? Ведь я тоже человек: не боги горшки обжигают! Ну так как? Давайте думать.
1.Через две точки можно провести прямую, да? (Да). 2.Можно взять какие-нибудь две точки из миллиона и провести через них прямую, да? (Да). 3. Можно взять КАЖДЫЕ две точки из миллиона и провести прямые через них, да? (Да). 4. Некоторые из этих прямых, возможно, сольются в одну, и тогда какая-нибудь прямая пройдёт через три точки, но мы на это не будем обращать внимания. Согласны? (Да). 5. Прямых будет какое-то конечное число, да? (Да). 6. А теперь возьмём какую-нибудь точку ВНЕ КОНТУРА и не лежащую ни на какой из прямых. Это возможно, не так ли? (Да). 7. А теперь рассмотрим луч, исходящий из этой точки и совершающий круг на плоскости, подобно минутной стрелке. Понятно объясняю? (Да). 8. Этот луч не лежит ни на одной из прямых, а поэтому в каждый момент может пересекать не больше одной точки, выбранной нами внутри контура. Так? (Верно: если бы две, то он лежал бы на какой-нибудь прямой). 9. Значит, количество точек, которые он отделяет в своём движении по кругу увеличивается в одной области и уменьшается в другой ПО ЕДИНИЦЕ. (Да). 10. Ну теперь всё: остановим луч, когда с обеих сторон будет по 500 000 точек.
Что особенно привлекает в этом доказательстве, так это привлечение «негеометрических» процессов, например, вращение луча во времени. В своё время Архимед взвешивал геометрические фигуры, искал их центр тяжести. Евклид, не долго думая, вырезал треугольники, переворачивал их, накладывал друг на друга. Не важно КАК, важно, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОЛУЧАЕТСЯ. Строгость можно (и нужно!) навести потом.
Мне кажется, именно такие, яркие доказательства должны быть у человека первыми (как и первая любовь должна быть яркой). В математике ведь тоже есть воспитание чувств. И доказательство как первая любовь.
Алгоритм сочинения
Не более 1% творчества
Когда я писал эту статью, я не улыбался: это действительно совершенно серьезная статья. Хотя посмеяться или хотя бы усмехнуться есть над чем. Ведь все учительские идеалы как научить детей творчеству, дать простор свободному творческому мышлению диаметрально противоположны тому, что я написал. Почему?
Жизнь парадоксальна. С одной стороны, мы хотели бы видеть в детях их творческую жилку, с другой наступает на нас неумолимая реальность, и, например, надо проверить знания ученика, да хоть то, читал он произведение, о котором пишет, или нет. Поэтому к тому, к чему отношение априорно должно было бы быть как к продукту ТВОРЧЕСТВА, апостериорно (постфактум) оно превращается совсем в другое. Реальные критерии оценки сочинений совсем другие. И ученики просто-таки не знают, верить нам или нет. И кое-кто может, пожалуй, воспринять сказанное дальше как своего рода «вредные советы». Но это не так: советы полезные.
Если бы я инструктировал моего сына или дочь (и так было не раз), как НА САМОМ ДЕЛЕ нужно писать сочинение, то сказал бы вот что.
Сочинение камень преткновения для многих по причине неадекватного к этой форме заданий отношения. Поскольку мои дети не раз готовились к экзамену этого типа, я придумал несколько простых правил, следование которым не только упрощает, как мне кажется, работу над сочинением, но и объясняет, что это такое.
Прежде всего нужно раз и навсегда запомнить, что сочинение вовсе не есть способ самовыражения и творчества. Что бы кто ни говорил. Никаких философий тут быть не должно. Если это забыть, то очень просто даже хорошему ученику получить двойку. На самом деле вам предлагается в краткой форме выразить свое знание и понимание предмета (не себя!). В этом суть. Требуется осознать некое самоограничение, прежде чем приступить к работе. Это сходно с самоограничением монаха.
Не советую писать план сочинения заранее. Если нужен план, то его можно написать в самом конце работы, уже держа текст перед глазами. Все дело в том, что основной шаблон плана слишком прост, чтобы его еще и записывать. Вот он: введение, основная часть, заключение. Это и есть тот план, который вы «держите в уме».
Первое, что нужно сделать, выбрать тему сочинения. Не стоит брать никаких «свободных тем». Оценка будет на балл ниже. Встаньте на место учителя: он должен проверить ваши знания по литературе, а вы его так разочаровали! Выбирайте не то, что вам нравится, а то, что вы лучше знаете.
Второй пункт. Прочтите внимательно тему. Не пренебрегайте формулировками темы. Сосредоточьтесь на ней. Поищите в своей памяти все частности, все факты и мелочи, которые к этой теме имеют прямое отношение все это может понадобиться. Самая страшная ошибка, которую вы можете сделать, уйти в сторону от темы. Пусть заголовок сочинения впечатается в ваше сознание на предстоящие часы работы. Забудьте обо всем, кроме темы и того, что к ней имеет прямое отношение!
Третий пункт. Вы пишите введение. Это тот же самый заголовок, только повторенный немного в расширенном варианте и другими словами. Синонимы! Вспоминайте синонимы! Старайтесь не употреблять рядом одни и те же слова.
Во введении должно быть три-четыре предложения. Это отдельный абзац. Одно из предложений введения должно содержать вопросительный знак.